新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第九章 第六節(jié)　橢　圓 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1．設(shè)P是橢圓＋＝1上的點．若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于________． 解析：由題意知a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：10 2．已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為________． 解析：由題意可知　且a>0，b>0，c>0， 解得a＝5，b＝3，c＝4

3、. ∴橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為a＋c＝9或a－c＝5－4＝1. 答案：1或9 3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的________條件． 解析：把橢圓方程化成＋＝1.若m>n>0，則>>0.所以橢圓的焦點在y軸上．反之，若橢圓的焦點在y軸上，則>>0即有m>n>0.故為充要條件． 答案：充要 4．已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：由x2＋y2－2x－15＝0， 知r＝4＝2a?a＝2. 又e＝＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝3.

4、 答案：＋＝1 5．若橢圓上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是________． 解析：設(shè)P到兩個焦點的距離分別為2k，k，根據(jù)橢圓定義可知：3k＝2a，又結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知．橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥. 答案：[，1) 6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P是橢圓上的任意一點，則的取值范圍是________． 解析：顯然當(dāng)PF1＝PF2時，＝0.由橢圓定義得PF2＝4－PF1，從而＝＝.而2－2≤PF1≤2＋2，所以≤≤，故≤2＋2.綜上所述，∈[0,2＋2]． 答案：[0,2＋

5、2] 7．已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是________． 解析：由題意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝， ∴a＝8， 從而b2＝a2－c2＝48， ∴方程是＋＝1. 答案：＋＝1 8．已知P是橢圓＋＝1上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則·的取值范圍為________________． 解析：解法一　(利用三角代換)設(shè)橢圓上任意一點為P(x0，y0)，所以(其中θ為參數(shù))，橢圓的左、右焦點分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，所以＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．所以·＝x＋y－8＝12cos2 θ＋4s

6、in2 θ－8＝8cos2 θ－4∈[－4,4]． 解法二　(轉(zhuǎn)換成二次函數(shù))設(shè)橢圓上任意一點為P(x0，y0)，橢圓的左、右焦點分別為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， 所以＝(－2－x0，－y0)， ＝(2－x0，－y0)． 所以·＝x＋y－8，該式表示橢圓上任意一點到原點的距離的平方與8的差．因為橢圓上任意一點到原點的距離最小值為短半軸b＝2，距離最大值為長半軸a＝2.所以x＋y∈[4,12]， 所以·＝x＋y－8∈ [－4,4]． 答案：[－4,4] 9．以等腰直角△ABC的兩個頂點為焦點，并且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為________． 解析：當(dāng)以兩銳角頂點為焦點時

7、，因為三角形為等腰直角三角形，故有b＝c，此時可求得離心率e＝＝＝＝；同理，當(dāng)以一直角頂點和一銳角頂點為焦點時，設(shè)直角邊長為m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，所以，離心率e＝＝＝＝－1. 答案：或－1 二、解答題 10．已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(－2,0)，且長軸長與短軸長的比是2∶. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當(dāng)||最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意，得 解得a2＝16，b2＝12. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)

8、P(x，y)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為＋＝1，故－4≤x≤4. 因為＝(x－m，y)， 所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12·(1－)＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2. 因為當(dāng)||最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點， 即當(dāng)x＝4時，||2取得最小值．而x∈[－4,4]， 故有4m≥4，解得m≥1. 又點M在橢圓的長軸上，所以－4≤m≤4. 故實數(shù)m的取值范圍是[1,4]． 11．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，一個長軸端點為(0,1)，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形．若直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于不同的兩點A、B，且＝3

9、. (1)求橢圓C的方程； (2)求實數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)依題意a＝1，b＝c， ∴b2＝， ∴所求橢圓C的方程為2x2＋y2＝1. (2)設(shè)直線l：y＝kx＋m，消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0， Δ＝4k2m2－4(k2＋2)(m2－1) ＝－4(2m2－k2－2)>0， ∴2m2－k2－2<0， ∵＝3，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝0， ∴x1＝－3x2， 又∵x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴消去x1得， 消去x2得3k2m2＝(k2＋2)(1－m2)， ∴k2＝. ∴2m2－2－<0?(m2－1)(4m2－

10、1)<0， ∴m∈(－1，－)∪(，1)． 12.已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，點A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為(如圖所示)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知點E(3,0)，設(shè)點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求·的取值范圍． 解析：(1)由離心率e＝＝，得＝＝. ∴a＝2b.① ∵原點O到直線AB的距離為， ∴＝.② ①代入②，得b2＝9.∴a2＝36. 則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)∵EP⊥EQ，∴·＝0. ∴·＝·(－)＝. 設(shè)P(x，y)，則＋＝1，即y2＝9－. ∴·＝＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋(9－)＝(x－4)2＋6. ∵－6≤x≤6，∴6≤(x－4)2＋6≤81. 則·的取值范圍為[6,81]．