新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 規(guī)范答題示例8 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 規(guī)范答題示例8 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 典例8 (12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且點(diǎn)在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)橢圓E:+=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q. ①求的值;②求△ABQ面積的最大值. 審題路線圖 (1)―→ (2)①―→ ②―→ ―→ 規(guī)范解答·分步得分 構(gòu)建答題模板 解 (1)由題意知+=1.又=, 解得a2=4,b2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.2分 (2)由(1)知橢圓E的方程為+=1.

2、 ①設(shè)P(x0,y0),=λ,由題意知Q(-λx0,-λy0). 因?yàn)椋珁=1,又+=1,即=1, 所以λ=2,即=2.5分 ②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 將y=kx+m代入橢圓E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由Δ>0,可得m2<4+16k2,(*) 則x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=. 因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m), 所以△OAB的面積S=|m||x1-x2|= ==2.8分 設(shè)=t,將y=kx+m代入橢圓C的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ≥0,可得m2

3、≤1+4k2.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1,因此S=2=2, 故0

4、意變量條件的制約,檢查最值取得的條件. 評(píng)分細(xì)則 (1)第(1)問(wèn)中,求a2-c2=b2關(guān)系式直接得b=1,扣1分; (2)第(2)問(wèn)中,求時(shí),給出P,Q的坐標(biāo)關(guān)系給1分;無(wú)“Δ>0”和“Δ≥0”者,每處扣1分;聯(lián)立方程消元得出關(guān)于x的一元二次方程給1分;根與系數(shù)的關(guān)系寫出后再給1分;求最值時(shí),不指明最值取得的條件扣1分. 跟蹤演練8 (2017·全國(guó)Ⅰ)已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定

5、點(diǎn). (1)解 由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn). 又由+>+知,橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在橢圓C上. 因此解得 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明 設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為,,則k1+k2=-=-1, 得t=2,不符合題設(shè). 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1). 將y=kx+m代入+y2=1, 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-,x1x2=. 而k1+k2=+ =+ =. 由題設(shè)k1+k2=-1, 故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)·+(m-1)·=0, 解得k=-. 當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),Δ>0, 于是l:y=-x+m, 即y+1=-(x-2), 所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1).

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