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1、
第10節(jié) 導數(shù)的概念與計算
課時訓練 練題感 提知能
【選題明細表】
知識點、方法
題號
導數(shù)的概念及運算
1、2、3、4、12
導數(shù)的幾何意義
5、6、8、9、11、13
導數(shù)的綜合問題
7、10、14、15、16
A組
一、選擇題
1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點(1,2)及鄰近一點(1+Δx,2+Δy),則ΔyΔx為( C )
(A)Δx+1Δx+2 (B)Δx-1Δx-2
(C)Δx+2 (D)Δx-1Δx+2
解析:Δy=f(1+Δx
2、)-f(1)
=[(1+Δx)2+1]-2
=(Δx)2+2·(Δx),
∴ΔyΔx=Δx+2,選C.
2.若f(x)=2xf′(1)+x2,則f′(0)等于( D )
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x,
∴f′(1)=2f′(1)+2,
∴f′(1)=-2,
∴f′(x)=2x-4,
∴f′(0)=-4.
故選D.
3.(20xx合肥模擬)函數(shù)y=x2cos x在x=1處的導數(shù)是( B )
(A)0 (B)2cos 1-sin 1
(C)cos 1-sin 1 (D)1
解析:∵y′=(x2co
3、s x)′
=(x2)′cos x+x2(cos x)′
=2xcos x-x2sin x,
∴在x=1處的導數(shù)為2cos 1-sin 1,
故選B.
4.(20xx中山市期末)函數(shù)f(x)=x2-bx+a的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點所在的區(qū)間是( B )
(A)(14,12)
(B)(12,1)
(C)(1,2)
(D)(2,3)
解析:由題圖知f(1)=1-b+a=0,00,g(12)=ln 12
4、+1-b<0,
故函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為(12,1),故選B.
5.(20xx深圳調(diào)研)曲線y=2x-ln x在點(1,2)處的切線方程為( C )
(A)y=-x-1 (B)y=-x+3
(C)y=x+1 (D)y=x-1
解析:y′=2-1x,
所以曲線在點(1,2)處的切線的斜率為k=2-1=1,
因此,在點(1,2)處的切線方程為y-2=x-1,
即y=x+1,故選C.
6.(20xx濰坊模擬)若曲線f(x)=x·sin x+1在x=π2處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則實數(shù)a等于( D )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:f′
5、(x)=sin x+xcos x,依題意,
f′(π2)=1,且-a2×1=-1,解得a=2,故選D.
7.(20xx惠陽一中實驗學校高三月考)曲線y=e12x在點(4,e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為( D )
(A)6e2 (B)4e2 (C)2e2 (D)e2
解析:∵y′=12·e12x,∴y′|x=4=12·e2.
∴曲線y=e12x在點(4,e2)處的切線方程為y-e2=12·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切線與坐標軸所圍成的三角形面積S=12×2×|-e2|=e2.故選D.
二、填空題
8.設(shè)直線y=12x+b是曲線y
6、=ln x(x>0)的一條切線,則實數(shù)b的值為 .?
解析:由已知條件可得直線的斜率k=12,
y′=(ln x)′=1x=12,
得切點的橫坐標為x=2,
切點坐標為(2,ln 2).
由點(2,ln 2)在切線y=12x+b上可得
b=ln 2-12×2=ln 2-1.
答案:ln 2-1
9.(20xx廣東六校第三次聯(lián)考)設(shè)P為曲線C:y=x3-x上的點,則曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍為 .?
解析:設(shè)點P的橫坐標是x,則曲線C在點P處的切線斜率是k=3x2-1≥-1,設(shè)切線的傾斜角是α,則tan α≥-1,α∈[0,π),解得
α∈[0,π2
7、 )∪[3π4,π).
答案:[0,π2 )∪[3π4,π)
10.等比數(shù)列{an}中,a1=1,a20xx=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx),則函數(shù)f(x)在點(0,0)處的切線方程為 .?
解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx)],
∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx)]′
∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a20xx
=(a1·a20xx)1006=41006=220xx.
∴f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=220xxx.
8、答案:y=220xxx
11.(20xx廣州高三調(diào)研)若直線y=2x+m是曲線y=xln x的切線,則實數(shù)m的值為 .?
解析:設(shè)切點為(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·1x=ln x+1得切線斜率為k=ln x0+1,故切線方程為y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,與y=2x+m比較得ln x0+1=2,-x0=m,
解得x0=e,m=-e.
答案:-e
三、解答題
12.(1)求下列函數(shù)的導數(shù).
①y=(2x2+3)(3x-1);
②y=(x-2)2;
③y=x-sinx2cos
9、x2;
(2)設(shè)f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,試確定常數(shù)a,b,c,d,使得
f′(x)=xcos x.
解:(1)①法一 y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′
=4x(3x-1)+3(2x2+3)
=18x2-4x+9.
法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,
∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.
②∵y=(x-2)2=x-4x+4,
∴y′=x′-(4x)′+4′=1-4×12x-12=1-2x-12.
③∵y=x-sinx2cosx2=x-12sin x,
∴
10、y′=x′-(12sin x)′=1-12cos x.
(2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′
=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+
(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.
∵f′(x)=xcos x,
∴必須有a-d-cx=0,ax+b+c=x,
即a-d=0,-c=0,a=1,b+c=0?a=d=1,b=c=0.
11、
13.已知函數(shù)f(x)=x在x=14處的切線為l,直線g(x)=kx+94與l平行,求f(x)的圖象上的點到直線g(x)的最短距離.
解:因為f(x)=x,
所以f′(x)=12x.
所以切線l的斜率為k=f′(14)=1,切點為T(14,12).
所以切線l的方程為x-y+14=0.
因為切線l與直線g(x)=kx+94平行,
所以k=1,
即g(x)=x+94.
f(x)的圖象上的點到直線g(x)=x+94的最短距離為切線l:x-y+14=0與直線x-y+94=0之間的距離,
所以所求最短距離為|94-14|2=2.
14.已知點M是曲線y=13x3-2x2+3x+
12、1上任意一點,曲線在M處的切線為l,求:
(1)斜率最小的切線方程;
(2)切線l的傾斜角α的取值范圍.
解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
∴當x=2時,y′=-1,y=53,
∴斜率最小的切線過2,53,斜率k=-1,
∴切線方程為x+y-113=0.
(2)由(1)得k≥-1,
∴tan α≥-1,
∴α∈0,π2∪3π4,π.
B組
15.(高考遼寧卷)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點,點P,Q的橫坐標分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標為( C )
(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8
解析
13、:y=x22,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,
點P的坐標為(4,8),點Q的坐標為(-2,2),
∴在點P處的切線方程為y-8=4(x-4),即y=4x-8.
在點Q處的切線方程為y-2=-2(x+2),
即y=-2x-2,解y=4x-8,y=-2x-2得A(1,-4),
則A點的縱坐標為-4.故選C.
16.(20xx河北保定一模)設(shè)函數(shù)f(x)=|sin x|的圖象與直線y=kx(k>0)有且僅有三個公共點,這三個公共點橫坐標的最大值為α,則α等于( B )
(A)-cos α (B)tan α (C)sin α (D)π
解析:如圖,若直線與函數(shù)有且僅有三個公共點,
則直線y=kx與曲線y=-sin x(x∈[π,2π])相切,
設(shè)切點為(α,-sin α),
則-sin α=kα
且k=-cos α,
所以α=tan α.
故選B.
新編高三數(shù)學復習 第10節(jié) 導數(shù)的概念與計算
