2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第四章 數(shù)列 考點(diǎn)測(cè)試30 等比數(shù)列 文(含解析).docx
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考點(diǎn)測(cè)試30 等比數(shù)列 高考概覽 本考點(diǎn)是高考必考知識(shí)點(diǎn),常考題型為選擇題、填空題和解答題,分值5分、12分,中、低等難度 考綱研讀 1.理解等比數(shù)列的概念 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 一、基礎(chǔ)小題 1.在等比數(shù)列{an}中,已知a1=1,a4=8,則a5=( ) A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 答案 A 解析 由a4=a1q3,則q=2,所以a5=a4q=16.故選A. 2.在等比數(shù)列{an}中,已知a7a12=5,則a8a9a10a11=( ) A.10 B.25 C.50 D.75 答案 B 解析 因?yàn)閍7a12=a8a11=a9a10=5,所以a8a9a10a11=52=25.故選B. 3.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a2a6=9a4,a2=1,則a1的值為( ) A.3 B.-3 C.- D. 答案 D 解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a2a6=9a4,得a2a2q4=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以a1==.故選D. 4.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a3n-1+b,則=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 A 解析 ∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a3n-1+b, ∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,∵等比數(shù)列{an}中,a=a1a3,∴(2a)2=(a+b)6a,解得=-3.故選A. 5.若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B 解析 由anan+1=aq=16n>0知q>0,又=q2==16,所以q=4.故選B. 6.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=3,則=( ) A.2 B. C. D.1或2 答案 B 解析 設(shè)S2=k,則S4=3k,由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4為等比數(shù)列,又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,∴S6=7k,∴==,故選B. 7.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,則a3a6a9…a30=( ) A.210 B.220 C.216 D.215 答案 B 解析 因?yàn)閍1a2a3=a,a4a5a6=a,a7a8a9=a,…,a28a29a30=a,所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30=(a2a5a8…a29)3=230.所以a2a5a8…a29=210.則a3a6a9…a30=(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)=(a2a5a8…a29)q10=210210=220,故選B. 8.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an=2(an-1+an-2+…+a2+a1)(n≥2,n∈N*),則這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)和S4=________. 答案 27 解析 由已知n≥2時(shí),an=2Sn-1,an+1=2Sn,∴an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),∴an= ∴S4=1+2+6+18=27. 二、高考小題 9.(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為( ) A.f B.f C.f D.f 答案 D 解析 由題意知,十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f,公比為的等比數(shù)列,設(shè)該等比數(shù)列為{an},則a8=a1q7,即a8=f,故選D. 10.(2018浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln (a1+a2+a3).若a1>1,則( ) A.a(chǎn)10,∴a1>a3.同理,∵=q2<1,a2<0,∴a4>a2.故選B. 11.(2017全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 答案 B 解析 由題意可知,由上到下燈的盞數(shù)a1,a2,a3,…,a7構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,∴S7==381,∴a1=3.故選B. 12.(2017北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=________. 答案 1 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.∵a1=b1=-1,a4=b4=8,∴ ∴∴a2=2,b2=2.∴==1. 13.(2017江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=________. 答案 32 解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. 當(dāng)q=1時(shí),S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合題意, ∴q≠1,由題設(shè)可得 解得∴a8=a1q7=27=32. 14.(2016全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________. 答案 64 解析 設(shè){an}的公比為q, 于是a1(1+q2)=10,① a1(q+q3)=5,② 聯(lián)立①②得a1=8,q=, ∴an=24-n,∴a1a2…an=23+2+1+…+(4-n)=2-n2+n=2-2+≤26=64,∴a1a2…an的最大值為64. 三、模擬小題 15.(2018呼和浩特調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,且a5a7=4a,a2=1,則a1=( ) A. B. C. D.2 答案 B 解析 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a5a7=a=4a,所以a6=2a4,q2==2,又q>0,所以q=,a1==,故選B. 16.(2018安徽皖江名校聯(lián)考)已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2a4=16,S3=7,則a8=( ) A.32 B.64 C.128 D.256 答案 C 解析 ∵a2a4=a=16,∴a3=4(負(fù)值舍去),∵a3=a1q2=4,S3=7,∴S2==3,∴3q2-4q-4=0,解得q=-或q=2,∵an>0,∴q=2,∴a1=1,∴a8=27=128.故選C. 17.(2018長(zhǎng)沙統(tǒng)考)設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論正確的是( ) A.Sn=4-3an B.Sn=3-2an C.Sn=3an-2 D.Sn=2an-1 答案 B 解析 由題意,an=n-1,Sn==31-n=3-2n-1,所以Sn=3-2an,故選B. 18.(2018唐山期末)在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若{Sn+λ}為等比數(shù)列,則λ=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案 B 解析 由a1=1,an+1=2an,得a2=2,a3=4,所以S1=a1=1,S2=S1+a2=3,S3=S2+a3=7.而{Sn+λ}為等比數(shù)列,所以(3+λ)2=(1+λ)(7+λ),解得λ=1.故選B. 19.(2019陜西西安市八校聯(lián)考)設(shè)公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則q=________. 答案 或-1 解析 ∵公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=a4+a3=3a4-3a2,即2q2-q-3=0,∴q=或-1. 20.(2018烏魯木齊一診)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則以S1,S3,S4為前三項(xiàng)的等差數(shù)列的第8項(xiàng)與第4項(xiàng)之比為________. 答案 解析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q.當(dāng)q=1時(shí),S1=a1,S3=3a1,S4=4a1.顯然不符合題意,所以q≠1.因?yàn)镾1,S3,S4為等差數(shù)列的前三項(xiàng),所以S4-S3=S3-S1,即a4=a3+a2,得a2q2=a2q+a2,所以q2=q+1,解得q=(負(fù)值舍去).所以該等差數(shù)列的第8項(xiàng)與第4項(xiàng)之比為======. 一、高考大題 1.(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由; (3)求{an}的通項(xiàng)公式. 解 (1)由條件可得an+1=an. 將n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 將n=2代入,得a3=3a2,所以a3=12. 從而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.由題設(shè)條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. (3)由(2)可得=2n-1,所以an=n2n-1. 2.(2018全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m. 解 (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 3.(2017全國(guó)卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通項(xiàng)公式; (2)若T3=21,求S3. 解 設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3.① (1)由a3+b3=5得2d+q2=6.② 聯(lián)立①和②解得(舍去)或 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 當(dāng)q=-5時(shí),由①得d=8,則S3=21. 當(dāng)q=4時(shí),由①得d=-1,則S3=-6. 二、模擬大題 4.(2018陜西質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=4an-3. (1)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 解 (1)證明:當(dāng)n=1時(shí),a1=4a1-3,解得a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,整理得an=an-1, 又a1=1≠0,∴{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. (2)∵an=n-1,由bn+1=an+bn(n∈N*),得 bn+1-bn=n-1. 當(dāng)n≥2時(shí),可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+=3n-1-1, 當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n-1-1. 5.(2018湖北八校第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an. (1)求證:{an+1-2an}是等比數(shù)列; (2)求{an}的通項(xiàng)公式. 解 (1)證明:由an+2=4an+1-4an得an+2-2an+1 =2an+1-4an=2(an+1-2an)=22(an-2an-1) =…=2n(a2-2a1)≠0, ∴=2,∴{an+1-2an}是等比數(shù)列. (2)由(1)可得an+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n, ∴-=, ∴是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列, ∴=,則an=n2n-1. 6.(2019江西南昌調(diào)研)已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=n,記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*. (1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并求出bn; (2)求T2n. 解 (1)∵anan+1=n, ∴an+1an+2=n+1. ∴=,即an+2=an. ∵bn=a2n+a2n-1, ∴===. ∴{bn}是公比為的等比數(shù)列. ∵a1=1,a1a2=, ∴a2=?b1=a1+a2=. ∴bn=n-1=. (2)由(1)可知an+2=an, ∴a1,a3,a5,…是以a1=1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列;a2,a4,a6,…是以a2=為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列. ∴T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.
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