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第52練 平行的判定與性質(zhì)
訓(xùn)練目標(biāo)
會(huì)應(yīng)用定理、性質(zhì)證明直線與平面平行、平面與平面平行．
訓(xùn)練題型
證明空間幾何體中直線與平面平行、平面與平面平行．
解題策略
(1)熟練掌握平行的有關(guān)定理、性質(zhì)；(2)善于用分析法、逆推法尋找解題突破口，總結(jié)輔助線、輔助面的做法.
1.(20xx·成都第三次診斷)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，CE＝2E
3、C1.
(1)若F是AB的中點(diǎn)，求證：
C1F∥平面BDE；
(2)求三棱錐D－BEB1的體積．
2．已知兩正方形ABCD與ABEF內(nèi)的點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線AC，F(xiàn)B上，且AM∶MC＝FN∶NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.
(1)證明：折疊后MN∥平面CBE；
(2)若AM∶MC＝2∶3，在線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．(20xx·遼寧五校協(xié)作體上學(xué)期期中)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平
4、面ABCD，AB＝，AA1＝2.
(1)證明：AA1⊥BD；
(2)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．
4.如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC.設(shè)D，E分別為PA，AC的中點(diǎn)．
(1)求證：DE∥平面PBC；
(2)求證：BC⊥平面PAB；
(3)試問(wèn)在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得過(guò)三點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點(diǎn)F的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案精析
1．(1)證明 連接CF交BD于點(diǎn)M，連
5、接ME，如圖所示．
易知△BMF∽△DMC.
∵F是AB的中點(diǎn)，∴＝＝.
∵CE＝2EC1，∴＝.
于是在△CFC1中，有＝，∴EM∥C1F.
又EM?平面BDE，C1F?平面BDE，
∴C1F∥平面BDE.
(2)解 ∵V三棱錐D－BEB1＝·DC·S△BEB1＝×3××3×3＝，
∴三棱錐D－BEB1的體積為.
2.(1)證明 如圖，設(shè)直線AN與直線BE交于點(diǎn)H，連接CH，
因?yàn)椤鰽NF∽△HNB，
所以＝.
又＝，
所以＝，
所以MN∥CH.
又MN?平面CBE，CH?平面CBE，
所以MN∥平面CBE.
(2)解 存在，過(guò)M作MG⊥AB于點(diǎn)G，
6、連接GN，則MG∥BC，
因?yàn)镸G?平面CBE，
所以MG∥平面CBE，
又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，
所以平面MGN∥平面CBE.
所以點(diǎn)G在線段AB上，且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.
3．(1)證明 ∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵A1O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A1O⊥BD.
∵A1O∩AC＝O，A1O?平面A1AC，AC?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC.
∵AA1?平面A1AC，∴AA1⊥BD.
(2)證明 ∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.
∵A1B1＝CD，∴四邊形A1B1CD是平行四邊形，
∴A1D∥
7、B1C，同理A1B∥D1C，
∵A1B?平面A1BD，A1D?平面A1BD，CD1?平面CD1B1，B1C?平面CD1B1，
且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(3)解 ∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
在正方形ABCD中，AB＝，可得AC＝2.
在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，
∴A1O＝，
∴＝S△ABD·A1O＝×()2×＝.
∴三棱柱ABD－A1B1D1的體積為.
4．(1)證明 因?yàn)辄c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為PA的中點(diǎn)，
所以DE∥PC.
又因?yàn)镈E?平面PBC，PC?
8、平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
(2)證明 因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
又PA?平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
又因?yàn)锳B⊥BC，且PA∩AB＝A，
PA?平面PAB，AB?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
(3)解 當(dāng)點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF.
由(1)可知DE∥平面PBC.
因?yàn)辄c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC.
又因?yàn)镋F?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC.
又因?yàn)镈E∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．
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