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2、 1
第八篇 第3節(jié)
一、選擇題
1．已知△ABC中，A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)和(－2,0)，若三角形的周長為10，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(x≠0)
解析：點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之和為6,6>4，故所求點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝6,2c＝4，則b2
3、＝5.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝1，
又A、B、C三點(diǎn)不共線，即y≠0，故選A.
答案：A
2．(20xx唐山二模)P為橢圓＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則·等于( )
A．3 B．
C．2 D．2
解析：由橢圓方程知a＝2，b＝，c＝1，
由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝4，
△PF1F2中由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝|F1F2|2，
∴16－3|PF1||PF2|＝4.∴|PF1||PF2|＝
4、4，
∴·＝||||cos 60°＝2.故選D.
答案：D
3．過點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：由題意得c2＝9－4＝5，
又已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
故所求橢圓方程可設(shè)為＋＝1(λ＞0)，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．故所求橢圓的方程為＋＝1.故選A.
答案：A
4．(20xx聊城聯(lián)考)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍
C．3倍 D．3倍
解析：不妨
5、設(shè)F1為橢圓左焦點(diǎn)，則PF2⊥x軸，Rt△PF1F2中|PF2|2＋36＝(4－|PF2|)2，
解得|PF2|＝，
所以|PF1|＝，即|PF1|＝7|PF2|，故選A.
答案：A
5．設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為( )
A．－1 B．2－
C． D．
解析：易知圓F2的半徑為c，由題意知Rt△MF1F2中|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2，
所以(2a－c)2＋c2＝4c2，2＋2－2＝0，
＝－1.
即e
6、＝－1.故選A.
答案：A
6．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且·＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為( )
A． B．
C． D．
解析：由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
設(shè)M(x，y)，
則MF1―→·MF2―→＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3. ①
又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，故＋y2＝1，
y2＝1－. ②
將②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.故選B.
答案：B
二、填空題
7．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則
7、P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)距離為________．
解析：∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，
又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.
答案：4
8．(20xx北京東城區(qū)高三聯(lián)考)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2的大小為________．
解析：由橢圓方程得a＝3，b＝，故c＝＝.
由|PF1|＝4得|PF2|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠F1PF2＝
＝
＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
答案：120°
9．(高考福建卷)橢圓Γ：＋＝1(a>b
8、>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
解析：因?yàn)橹本€y＝(x＋c)過點(diǎn)F1(－c,0)且傾斜角為60°，
所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，
所以∠F1MF2＝90°，
所以F1M⊥F2M，
在Rt△F1MF2中，
|MF1|＝c，|MF2|＝c，
所以e＝＝＝＝＝－1.
答案：－1
10．已知對k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)橹本€y－kx－1＝0過定點(diǎn)(0,1)，
9、要使直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，
則點(diǎn)(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi)，即＋≤1，
整理，得≤1，解得m≥1.
又方程＋＝1表示橢圓，
所以m>0且m≠5，
綜上m的取值范圍為m≥1且m≠5.
答案：m≥1且m≠5
三、解答題
11．(20xx臨沂模擬)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N.當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍．
解：(1)依題意可設(shè)橢圓方程為＋y2＝1，
則右焦點(diǎn)F(，0)，
由題設(shè)得＝3，
解得a2＝3.
故所求橢圓
10、的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，
由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直線與橢圓相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0?m2<3k2＋1. ①
∴xP＝＝－，
從而yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝＝－，
又∵|AM|＝|AN|，
∴AP⊥MN，
則－＝－，
即2m＝3k2＋1. ②
把②代入①得m2<2m，
解得00，
解得m>.
綜上求得m的取值范圍是
11、右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．
解：(1)橢圓W：＋y2＝1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)．
因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，
所以AC與OB相互垂直平分，
所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方程得＋m2＝1，
即m＝±.
所以菱形OABC的面積是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：
假設(shè)四邊形OABC為菱形．
因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，
則＝－，
＝k·＋m＝.
所以AC的中點(diǎn)為M(－，).
因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，
所以直線OB的斜率為－.
因?yàn)閗·(－)≠－1，
所以AC與OB不垂直，
所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．
所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形．
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