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1、
第55練 空間角與距離
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)會求線面角、二面角;(2)會解決簡單的距離問題.
訓(xùn)練題型
(1)求直線與平面所成的角;(2)求二面角;(3)求距離.
解題策略
利用定義、性質(zhì)去“找”所求角,通過解三角形求角的三角函數(shù)值,盡量利用特殊三角形求解.
一、選擇題
1.如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底面ABC上的投影D為BC的中點,則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為,底面是邊長為的正三
2、角形.若P為△A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為( )
A. B.
C. D.π
3.如圖所示,在三棱錐S—ABC中,△ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,SA=3a,且SA⊥平面ABC,則點A到平面SBC的距離為( )
A. B.
C. D.
二、填空題
4.如圖,在等腰直角三角形ABD中,∠BAD=90°,且等腰直角三角形ABD與等邊三角形BCD所在平面垂直,E為BC的中點,則AE與平面BCD所成角的大小為________.
5.如圖所示,在三棱錐S-ABC中,△SBC,△ABC都是等邊三角形,且BC=1,SA=,則二面角
3、S-BC-A的大小為________.
6.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動,給出以下命題:
①異面直線C1P與B1C所成的角為定值;
②二面角P-BC1-D的大小為定值;
③三棱錐D-BPC1的體積為定值;
④異面直線A1P與BC1間的距離為定值.
其中真命題的個數(shù)為________.
三、解答題
7.(20xx·濰坊模擬)如圖所示,底面ABC為正三角形,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,EA=AB=2DC=2a,設(shè)F為EB的中點.
(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值.
4、
8.(20xx·遼寧沈陽二中月考)如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,點O在AB上,且OB=OC=AB,PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO.
(1)求證:PB∥平面COD;
(2)求二面角O-CD-A的余弦值.
9.如圖,正四棱錐S-ABCD中,SA=AB=2,E,F(xiàn),G分別為BC,SC,CD的中點.設(shè)P為線段FG上任意一點.
(1)求證:EP⊥AC;
(2)當(dāng)P為線段FG的中點時,求直線BP與平面EFG所成角的余弦值.
答案精析
1. D [連接A1B,易知
5、∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角,
2. 設(shè)AB=a,易求得AD=a,A1D=,
則A1B==a,故cos∠A1AB==.]
2.B [因為AA1⊥底面A1B1C1,所以∠APA1為PA與平面A1B1C1所成的角.因為平面ABC∥平面A1B1C1,所以∠APA1為PA與平面ABC所成角.因為正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為,底面三角形的邊長為,所以S△ABC·AA1=,可得AA1=.
又易知A1P=1,所以tan∠APA1==,
又直線與平面所成的角屬于[0,],所以∠APA1=.]
3.A [作AD⊥CB交CB的延長線于點D,連接SD,如圖所示.
∵SA⊥平
6、面ABC,BC?平面ABC,
∴SA⊥BC.又BC⊥AD,SA∩AD=A,SA?平面SAD,AD?平面SAD,
∴BC⊥平面SAD,又BC?平面SBC,
∴平面SBC⊥平面SAD,且平面SBC∩平面SAD=SD.在平面SAD內(nèi),過點A作AH⊥SD于點H,則AH⊥平面SBC,AH的長即為點A到平面SBC的距離.
在Rt△SAD中,SA=3a,AD=AB·sin 60°=a.由=,
得AH===,即點A到平面SBC的距離為.]
4.45°
解析 取BD的中點F,連接EF,AF(圖略),易得AF⊥BD,AF⊥平面BCD,則∠AEF就是AE與平面BCD所成的角,由題意知EF=CD=BD=
7、AF,所以∠AEF=45°,即AE與平面BCD所成的角為45°.
5.60°
6.4
解析 對于①,因為在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動,
在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1,而C1P?平面ABC1D1,所以B1C⊥C1P,
所以這兩個異面直線所成的角為定值90°,故①正確;
對于②,因為二面角P-BC1-D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角,
而這兩個平面為固定不變的平面,
所以夾角也為定值,故②正確;
對于③,三棱錐D-BPC1的體積還等于三棱錐P-DBC1的體積,
而△DBC1面積一定,
又因為P∈AD1,而AD1∥
8、平面BDC1,
所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離,
所以三棱錐的體積為定值,故③正確;
對于④,因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1,
平面BCC1B1中,且這兩個平面平行,
由異面直線間的距離定義及求法,
知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離,
所以這兩個異面直線間的距離為定值,故④正確.
綜上知,真命題的個數(shù)為4.
7.(1)證明 如圖,過點F作FH∥EA交AB于點H,連接HC.
∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,
∴EA∥DC.
又FH∥EA,
∴FH∥DC.
∵F是EB的中點,
∴FH=AE=DC.
∴四邊形
9、CDFH是平行四邊形,
∴DF∥CH.
又CH?平面ABC,DF?平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
(2)解 ∵△ABC為正三角形,H為AB的中點,∴CH⊥AB.
∵EA⊥平面ABC,CH?平面ABC,
∴CH⊥EA.
又EA∩AB=A,EA?平面AEB,
AB?平面AEB,
∴CH⊥平面AEB.
∵DF∥CH,
∴DF⊥平面AEB,
∴AF為DA在平面AEB上的投影,
∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角.
在Rt△AFD中,AD=a,DF=a,sin∠DAF==,
∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為.
8.(1)證明 因為PO⊥平面ABC,DA∥P
10、O,AB?平面ABC,
所以PO⊥AB,DA⊥AB.
又DA=AO=PO,所以∠AOD=45°.
因為OB=AB,
所以O(shè)A=AB,所以O(shè)A=OB,
又AO=PO,所以O(shè)B=OP,
所以∠OBP=45°,即OD∥PB.
又PB?平面COD,OD?平面COD,
所以PB∥平面COD.
(2)解 如圖,過A作AM⊥DO,垂足為M,
過M作MN⊥CD于N,連接AN,
則∠ANM為二面角O-CD-A的平面角.設(shè)AD=a,
在等腰直角三角形AOD中,得AM=a,
在直角三角形COD中,得MN=a,
在直角三角形AMN中,得AN=a,
所以cos∠ANM=.
9.(1)
11、證明 設(shè)AC交BD于O點,
∵S-ABCD為正四棱錐,
∴SO⊥底面ABCD,BD⊥AC,
又AC?平面ABCD,
∴SO⊥AC,∵BD∩SO=O,
BD?平面SBD,SO?平面SBD,
∴AC⊥平面SBD,
∵E,F(xiàn),G分別為BC,SC,CD的中點,
∴FG∥SD,BD∥EG.
又FG∩EG=G,SD∩BD=D,
FG?平面EFG,EG?平面EFG,
SD?BSD,BD?平面BSD,
∴平面EFG∥平面BSD,
∴AC⊥平面GEF.
又∵PE?平面GEF,∴PE⊥AC.
(2)解 過B作BH⊥GE于H,連接PH,
∵BD⊥AC,BD∥GH,
∴BH∥AC,
由(1)知AC⊥平面GEF,
則BH⊥平面GEF.
∴∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角.
在Rt△BHP中,BH=,PH=,PB=,
故cos∠BPH==.