9、y=x+a與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個不同的公共點,則實數(shù)a的值是( )
A.n(n∈Z) B.2n(n∈Z)
C.2n或2n-(n∈Z) D.n或n-(n∈Z)
[解析] 依題意得,函數(shù)y=f(x)是周期為2的偶函數(shù),在[0,2)上,由圖象(圖略)易得,當a=0或-時,直線y=x+a與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個不同的公共點,∵函數(shù)f(x)的周期為2,∴a的值為2n或2n-(n∈Z).
[答案] C
13.(20xx·陜西省寶雞市高三一檢)設(shè)函數(shù)f(x)=若函數(shù)y=f(x)-k有且只有兩個零點,則實數(shù)k的取值范圍是________.
[解析] ∵當x<1時,2-x>;當x≥1
10、時,log2x≥0,依題意函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=k的交點有兩個,∴k>.
[答案]
14.(20xx·云南省高三統(tǒng)一檢測)已知y=f(x)是R上的偶函數(shù),對于任意的x∈R,均有f(x)=f(2-x),當x∈[0,1]時,f(x)=(x-1)2,則函數(shù)g(x)=f(x)-log20xx|x-1|的所有零點之和為________.
[解析] 因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),f(x)=f(2-x),所以f(x)=f(-x)=f(x+2),所以函數(shù)f(x)的周期為2,又當x∈[0,1]時,f(x)=(x-1)2,將偶函數(shù)y=log20xx|x|的圖象向右平移一個單位長度得到函數(shù)y=log2
11、0xx|x-1|的圖象,由此可在同一平面直角坐標系下作函數(shù)y=f(x)與y=log20xx|x-1|的圖象(圖略),函數(shù)g(x)的零點,即為函數(shù)y=f(x)與y=log20xx|x-1|圖象的交點的橫坐標,當x>20xx時,兩函數(shù)圖象無交點,又兩函數(shù)圖象在[1,20xx]上有20xx個交點,由對稱性知兩函數(shù)圖象在[-20xx,1]上也有20xx個交點,且它們關(guān)于直線x=1對稱,所以函數(shù)g(x)的所有零點之和為4032.
[答案] 4032
15.(20xx·煙臺模擬)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a,
(1)判斷命題:“對于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實數(shù)根”的
12、真假,并寫出判斷過程;
(2)若y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及內(nèi)各有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)“對于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實數(shù)根”是真命題.
依題意,f(x)=1有實根,即x2+(2a-1)x-2a=0有實根,因為Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0對于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有實根,從而f(x)=1必有實根.
(2)依題意,要使y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及內(nèi)各有一個零點,
只需即
解得
13、x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)=-4lnx的零點個數(shù).
[解] (1)∵f(x)是二次函數(shù),且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R},
∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.
∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3.
(2)∵g(x)=-4lnx=x--4lnx-2(x>0),
∴g′(x)=1+-=.
令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
當x變化時,g′(x),g(x)的取值變化情況如下:
x
(
14、0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
極大值
極小值
當0
15、互為“零點密切函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 易知函數(shù)f(x)為增函數(shù),且f(2)=e2-2+2-3=0,所以函數(shù)f(x)=ex-2+x-3只有一個零點x=2,則取λ=2,由|2-μ|≤1,知1≤μ≤3.由f(x)與g(x)互為“零點密切函數(shù)”知函數(shù)g(x)=x2-ax-x+4在區(qū)間[1,3]內(nèi)有零點,即方程x2-ax-x+4=0在[1,3]內(nèi)有解,所以a=x+-1,而函數(shù)a=x+-1在[1,2]上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增,所以當x=2時,a取最小值3,又當x=1時,a=4,當x=3時,a=,所以amax=4,所以實數(shù)a的取值范圍是[3,4].
[答案] [3,4]