《新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
第十章 圓錐曲線
第一節(jié) 橢圓及其性質(zhì)
題型115 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（20xx廣東文9）已知中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則的方程是
A． B． C． D．
1.（20xx大綱文9）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，過(guò)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則C的方程為（ ）.
A．
3、B． C． D．
2.（20xx遼寧文15）已知橢圓：，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)在上，則 .
3.（20xx遼寧文20）如圖所示，圓的切線與軸正半軸，軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為.
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且與直線交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求的標(biāo)準(zhǔn)方程.
4.（20xx天津文18）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該圓相切于點(diǎn)，.求橢圓的
4、方程.
5. （20xx新課標(biāo)Ⅱ文20） 設(shè)分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.
（1）若直線的斜率為，求的離心率；
（2）若直線在軸上的截距為，且，求.
1.（20xx廣東文8）已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，則（ ）.
A． B． C． D．
1.解析 由左焦點(diǎn)為，可得. 由，即，得.
又，所以.故選B.
評(píng)注 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
1.（20xx山東文21（1））已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，求橢圓的方程.
1. 解析 設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，
所以橢圓的方程為.
2.（2
5、0xx四川文20（1））已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的方程.
2. 解析 由已知得，
又橢圓過(guò)點(diǎn)，故，解得
所以橢圓的方程是
3.（20xx天津文19（1））設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率，求橢圓的方程.
3.解析 （1）由，即，可得.
又，所以，因此，所以橢圓的方程為
1.（20xx全國(guó)1文12）設(shè)，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（ ）.
A. B. C. D.
1.解析 因?yàn)樵谏洗嬖邳c(diǎn)，滿足，所以.當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值.
① 當(dāng)時(shí)，如
6、圖1所示，有，則，所以
，解得；
圖1 圖2
② 當(dāng)時(shí)，如圖2示，有，則，所以
，解得.
綜上可得，的取值范圍是.故選A.
評(píng)注：先研究“橢圓，是長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，位于短軸端點(diǎn)時(shí)，最大”這一結(jié)論.
圖3
如圖3所示，因?yàn)椋?
所以.
設(shè)，因?yàn)椋ㄖ悬c(diǎn)弦的一個(gè)結(jié)論），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)位于短軸端點(diǎn)處）.
2.（20xx山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)直線交橢圓于，兩
7、點(diǎn)，交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，圓的半徑為. 設(shè)為的中點(diǎn)，，與圓分別相切于點(diǎn)，，求的最小值.
2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得，
又當(dāng)時(shí)，，得，所以，.
因此橢圓方程為.
(2) 設(shè)，，聯(lián)立方程 ，
得，由，得 .
且，因此，所以，
又，所以，
因?yàn)?，所?
令，故.所以.
令 ，所以.
當(dāng) 時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增.
因此，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以 ，.
設(shè)，則 ，所以的最小值為.
從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率為.
綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.
題型116 橢圓離心率的值及取值范圍
1. （20xx四川文9）從橢圓上一點(diǎn)向軸做垂
8、線，垂足恰為左焦
點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（ ）.
A. B. C. D.
2.（20xx江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的
距離為，若，則橢圓的離心率為 .
2. (20xx福建文15）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
若直線 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足則該橢圓的離心率等于 .
3.（20xx北京文19）已知橢圓C：.
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，
9、若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.
F1
F2
O
x
y
B
C
A
4.（20xx江蘇17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接．
（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；
（2）若，求橢圓離心率的值．
1.（20xx江西文14）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過(guò)作軸的垂線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于 .
2. （20xx安徽文21）設(shè)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，.
（1）若的周長(zhǎng)
10、為16，求；
（2）若，求橢圓的離心率.
1.（20xx福建文11）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為．短軸的一個(gè)端
點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的
距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
1. 解析 設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，，則四邊形是平行四邊形，故，
所以，所以.設(shè)，則，故.
所以，，，所以橢圓的離心率的取值范圍為.
故選A.
評(píng)注 1. 橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2. 點(diǎn)到直線距離公式．
2.（20xx浙江文15）橢圓（）的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的
對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是 ．
2. 解析 解法一:
11、設(shè)，則，所以，又，
所以 ，所以，所以，
不妨取，所以中點(diǎn)，代入，
得，化簡(jiǎn)得或，所以.
解法二:取左焦點(diǎn)，則：，所以原點(diǎn)到的距離.
又到的距離，由題意知，，所以，所以.
3.（20xx重慶文21）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，
過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.
（1）若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若，且，
試確定橢圓離心率的取值范圍.
3. 解析 （1）由橢圓的定義，，故.
設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，
因此，
即，從而. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由，，得.
由橢圓的定義，，，
進(jìn)而.于是，
解得，故.
由勾股定理得，
從而，
兩邊除以，得
12、.
若記，則上式變?yōu)?
由，并注意到關(guān)于的單調(diào)性，得，
即.進(jìn)而，即.
1.（20xx全國(guó)乙文5）直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為（ ）.
A. B. C. D.
1. B 解析 由等面積法可得，故，從而.故選B.
2.（20xx江蘇10）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是 .
2. 解析 由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，.
由，可得，，，
則，由，可得，則.
1.（20xx全國(guó)3文11）
13、已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
1.解析 因?yàn)橹本€與圓相切，即，整理得.令，則有，，，.故選A.
評(píng)注 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的離心率公式和圓的方程，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，但總的難度不大，屬于跨板塊的綜合類問(wèn)題，基礎(chǔ)中偏上的學(xué)生一般都能搞定.
2.（20xx浙江卷2）橢圓的離心率是（ ）.
A. B. C. D.
2.解析 由橢圓方程可得，，所以，所以，，
.故選B．
題型117 橢圓的焦點(diǎn)三角形
1.（20xx重慶文21）如圖所示，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，
，的面積為.
（1） 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)？若存在，求出圓的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org
新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)
