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1、新編高考數(shù)學復習資料
第二篇 第3節(jié)
一、選擇題
1．(2014浙江嘉興模擬)f(x)＝x＋在區(qū)間[1，＋∞)上遞增，則a的取值范圍為( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0,1] D．(－∞，1]
解析：當a≤0時，f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上遞增；當a＞0時，f(x)的增區(qū)間為[，＋∞)，只要≤1，得a≤1.綜上a的取值范圍為(－∞，1]，故選D.
答案：D
2．(2014安徽淮南高三二模)定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上遞減，且f＝0，則滿足f(logx) ＜0的x的集合為( )
A．－∞，∪(2，＋∞) B.，1∪(
2、1,2)
C．0，∪(2，＋∞) D.，1∪(2，＋∞)
解析：∵f(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上遞減，f＝0，
∴f(x)在(－∞，0]上遞增，且f－＝0，
∴f(logx)＜0?logx＞或logx＜－
?0＜x＜或x＞－
?0＜x＜或x＞2，故選C.
答案：C
3．(2014合肥質檢)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)的最小正周期為4，且f(1)>1，f(2)＝m2－2m，f(3)＝，則實數(shù)m的取值集合是( )
A．mm< B．{0,2}
C．m－1
3、奇函數(shù)，且周期為4，所以f(－2)＝f(2)＝－f(2)，
因此得f(2)＝0，
即m2－2m＝0，解得m＝0或m＝2.
當m＝0時，f(3)＝－5，f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝5>1.
當m＝2時，f(3)＝－，f(1)＝－f(3)＝<1.
于是只能取m＝0，即實數(shù)m的取值集合是{0}．
故選D.
答案：D
4．設偶函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且當x∈[－3，－2]時，f(x)＝4x，則f(107.5)等于( )
A．10 B．
C．－10 D．－
解析：由于f(x＋3)＝－，
所以f(x＋6)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期等于6，
4、
又因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，
于是f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝f(5.5)＝f(3＋2.5)
＝－＝－
＝－＝，
故選B.
答案：B
5．(2014陜西咸陽一模)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)＜f的x取值范圍是( )
A.， B．，
C.， D．，
解析：由題意知f(x)在(－∞，0)上為單調減函數(shù)，不等式f(2x－1)＜f等價于或解得＜x＜，
即滿足條件的x的取值范圍是，.故選A.
答案：A
6．(2014山東濟南市質檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，
5、若函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關于直線x＝－1對稱，則f(2014)等于( )
A．0 B．2013
C．3 D．－2013
解析：函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關于直線x＝－1對稱，可知函數(shù)y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．在等式f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3得f(3)＝f(－3)＋f(3)，得f(－3)＝f(3)＝0，故f(x＋6)＝f(x)，6是函數(shù)y＝f(x)的一個周期，f(2014)＝f(3)＝0.故選A.
答案：A
二、填空題
7．(2014吉林二模)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x∈(－∞，0]時，f(x)＝－xlg(3－x
6、)，則f(1)＝________.
解析：f(1)＝－f(－1)＝－[－(－1)lg(3＋1)]＝－lg 4.
答案：－lg 4
8．已知f(x)＝asin x＋bx＋c(a，b，c∈R)，若f(0)＝－2，f＝1，則f＝________.
解析：由題設f(0)＝c＝－2，f＝a＋b－2＝1，
所以f＝－a－b－2＝－5.
答案：－5
9．已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)不恒為0，且對任意x，y∈R，滿足xf(y)＝y(tǒng)f(x)，則f(x)是________．
解析：令x＝1，y＝0，得f(0)＝0.
令y＝－x≠0，得xf(－x)＝－xf(x)．
而x≠0，∴f(－x)＝－
7、f(x)，f(x)為奇函數(shù)．
又f(x)不恒為0，排除f(x)既奇又偶的可能．
答案：奇函數(shù)
10．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件fx＋＝－f(x)，且函數(shù)y＝fx－為奇函數(shù)，給出以下四個命題：
(1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；
(2)函數(shù)f(x)的圖象關于點－，0對稱；
(3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；
(4)函數(shù)f(x)為R上的單調函數(shù)．
其中真命題的序號為______．(寫出所有真命題的序號)
解析：由fx＋＝－f(x)可得f(x)＝f(x＋3)?f(x)為周期函數(shù)，且T＝3，(1)為真命題；又y＝fx－關于(0,0)對稱，y＝fx－向左平移個單位得y＝f(x
8、)的圖象，則y＝f(x)的圖象關于點－，0對稱，(2)為真命題；又y＝fx－為奇函數(shù)，所以fx－＝－f－x－，fx－－＝－f－x－＝－f(－x)，
∴fx－＝－f(－x)，
f(x)＝f(x－3)＝－fx－＝f(－x)；
∴f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上的單調函數(shù)，(3)為真命題；(4)為假命題，故真命題為(1)(2)(3)．
答案：(1)(2)(3)
三、解答題
11．已知函數(shù)f(x)＝
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)當x＜0時，－x＞0，
∴f(－x)＝－(－x)2＋2·(－x)＝－x2－2x
9、，
又f(x)為奇函數(shù)，
∴f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x，x＜0，
∴m＝2.
(2)畫出f(x)的大致圖象如圖所示．
要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，由圖象可以看出，－1＜a－2≤1，解得1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．
12．已知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且滿足條件：①f(x·y)＝f(x)＋f(y)，②f(2)＝1；③當x＞1時，f(x)＞0.
(1)求證：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調性；
(3)求不等式f(x)＋f(x－3)≤2的解集．
(1)證明：由f(2)＝f(1×2)＝f(
10、1)＋f(2)得f(1)＝0.
由f(1)＝f(－1×(－1))＝f(－1)＋f(－1)
＝2f(－1)＝0，
得f(－1)＝0，
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù)．
(2)解：任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
則＞1，由x＞1時，f(x)＞0，
得f＞0，
∴f(x2)＝fx1·＝f(x1)＋f，
∴f(x2)＞f(x1)
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
∵f(x)是偶函數(shù)，
∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
(3)解：由f(x·y)＝f(x)＋f(y)得
f(x)＋f(x－3)＝f(x(x－3))，
又f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，
∴原不等式轉化為f(x(x－3))≤f(4)，
∵f(x)是偶函數(shù)，∴|x(x－3)|≤4.
解得－1≤x≤4且x≠0，
∴不等式f(x)＋f(x－3)≤2的解集為[－1,0)∪(0,4]．
新編高考數(shù)學文科一輪總復習 第2篇 第3節(jié) 函數(shù)性質的綜合應用
