《新編理數北師大版練習:第十章 第九節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編理數北師大版練習:第十章 第九節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 Word版含解析(10頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
課時作業(yè)
A組——基礎對點練
1.(20xx·高考湖北卷)設X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結論中正確的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.對任意正數t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.對任意正數t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
解析:由正態(tài)分布密度曲線的性質可知,X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ)的密度曲線分別關于直線x=μ1,x=μ2對稱,因此結合題中所給圖像可得,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A錯誤.又X~N(μ1,σ)的密度曲線較Y~
2、N(μ2,σ)的密度曲線“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),B錯誤.對任意正數t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C正確,D錯誤.
答案:C
2.(20xx·長沙模擬)一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個5位的二進制數 (例如:若a1=a3=a5=1,a2=a4=0,則A=10101),其中二進制數A的各位數中,已知a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現0的概率為,出現1的概率為,記X=a1+a2+a3+a4+a5,現在儀器啟動一次,則E(X)=( )
A. B.
C. D.
解析:法一:X的所有可能取值為1
3、,2,3,4,5,P(X=1)=C40=,P(X=2)=C31=,P(X=3)=C22=,P(X=4)=C13=,P(X=5)=C04=,所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.
法二:由題意,X的所有可能取值為1,2,3,4,5,設Y=X-1,則Y的所有可能取值為0,1,2,3,4,因此Y~B(4,),所以E(Y)=4×=,從而E(X)=E(Y+1)=E(Y)+1=+1=.
答案:B
3.已知袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現從袋中任取一球,X表示所取球的標號.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,則a+b的值是(
4、 )
A.1或2 B.0或2
C.2或3 D.0或3
解析:由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=,
D(X)=×2+×2+×(2-)2+×2+×2=.
由D(η)=a2D(X),得a2×=11,即a=±2.
又E(η)=aE(X)+b,所以當a=2時,由1=2×+b,
得b=-2,此時a+b=0.
當a=-2時,由1=-2×+b,得b=4,此時a+b=2.故選B.
答案:B
4.若隨機事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發(fā)生的次數,則的最大值為( )
A.2+2 B.
5、2
C.2- D.2-2
解析:隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,且P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,即ξ~B(1,p),根據公式得E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p),則=2-.而2p+≥2=2,當且僅當2p=,即p=時取等號.因此當p=時,取得最大值2-2.
答案:D
5.若某科技小制作課的模型制作規(guī)則是:每位學生最多制作3次,一旦制作成功,則停止制作,否則可制作3次.設某學生一次制作成功的概率為p(p≠0),制作次數為X,若X的數學期望E(X)>,則p的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:由已知條件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)
6、p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,則E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<,又p∈(0,1],可得p∈,故選C.
答案:C
6.(20xx·高考廣東卷)已知隨機變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p= .
解析:由得p=.
答案:
7.已知X是離散型隨機變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2.若E(X)=,D(X)=,則x1+x2的值為 .
解析:由題意得X的所有
7、可能取值為x1,x2,所以E(X)=x1+x2=,D(X)=2+2=,整理得,
解得或(舍去),故x1+x2=3.
答案:3
8.(20xx·淄博模擬)某4S店在一次促銷活動中,讓每位參與者從盒子中任取一個由0~9中任意三個數字組成的“三位遞減數”(即個位數字小于十位數字,十位數字小于百位數字).若“三位遞減數”中的三個數字之和既能被2整除又能被5整除,則可以享受5萬元的優(yōu)惠;若“三位遞減數”中的三個數字之和僅能被2整除,則可以享受3萬元的優(yōu)惠;其他結果享受1萬元的優(yōu)惠.
(1)試寫出所有個位數字為4的“三位遞減數”;
(2)若小明參加了這次汽車促銷活動,求他得到的優(yōu)惠金額X的分布列
8、及數學期望E(X).
解析:(1)個位數字為4的“三位遞減數”有:984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10個.
(2)由題意,不同的“三位遞減數”共有C=120(個).
小明得到的優(yōu)惠金額X的取值可能為5,3,1.
當X=5時,三個數字之和可能為20或10,
當三個數字之和為20時,有983,974,965,875,共4個“三位遞減數”;
當三個數字之和為10時,有910,820,730,721,640,631,541,532,共8個“三位遞減數”,
所以P(X=5)==.
當X=3時,三個數字之和只能被2整除,即這三個數字只能是三
9、個偶數或兩個奇數一個偶數,但不包括能被10整除的“三位遞減數”,
故P(X=3)===.
故P(X=1)=1-P(X=5)-P(X=3)=1--=.
所以他得到的優(yōu)惠金額X的分布列為
X
5
3
1
P
數學期望E(X)=5×+3×+1×=2.2(萬元).
9.(20xx·唐山模擬)退休年齡延遲是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢.某機構為了解某城市市民的年齡構成,按1%的比例從年齡在20~80歲(含20歲和80歲)之間的市民中隨機抽取600人進行調查,并將年齡按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)
10、,[70,80]進行分組,繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.規(guī)定年齡在[20,40)歲的人為“青年人”,[40,60)歲的人為“中年人”,[60,80]歲的人為“老年人”.
(1)根據頻率分布直方圖估計該城市60歲以上(含60歲)的人數,若每一組中的數據用該組區(qū)間的中點值來代表,試估算所調查的600人的平均年齡;
(2)將上述人口分布的頻率視為該城市年齡在20~80歲的人口分布的概率,從該城市年齡在20~80歲的市民中隨機抽取3人,記抽到“老年人”的人數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.
解析:(1)由頻率分布直方圖可知60歲以上(含60歲)的頻率為(0.01+0.01)×10=
11、0.2,
故樣本中60歲以上(含60歲)的人數為600×0.2=120,故該城市60歲以上(含60歲)的人數為120÷1%=12 000.
所調查的600人的平均年齡為
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(歲).
(2)法一:由頻率分布直方圖知,“老年人”所占的頻率為,所以從該城市年齡在20~80歲的市民中隨機抽取1人,抽到“老年人”的概率為,
分析可知X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)=C03=,
P(X=1)=C12=,
P(X=2)=C21=,
P(X=3)=C30=.
所以X的分布列為
X
0
12、
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
法二:由題意知每次抽到“老年人”的概率都是,且X~B(3,),P(X=k)=
Ck3-k,k=0,1,2,3,
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
故E(X)=3×=.
B組——能力提升練
1.(20xx·南陽模擬)設隨機變量X~B(2,p),隨機變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,則D(3Y+1)=( )
A.2 B.3
C.6 D.7
解析:法一:由題意得P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=Cp(1-p)+Cp2=,所以p=,則Y~B
13、(3,),故D(Y)=3××=,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×=6.
法二:因為P(X≥1)=1-P(X=0)=,所以P(X=0)=C(1-p)2=,所以p=,則Y~B,故D(Y)=3××=,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×=6.
答案:C
2.已知甲、乙兩個工人在同樣的條件下生產某種材料,日生產量相等,每天出廢品的情況如表所示,則下列結論正確的是( )
工人
甲
乙
廢品數
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A.甲生產的產品質量比乙生產的產品質量好一些
B.乙生產的
14、產品質量比甲生產的產品質量好一些
C.兩人生產的產品質量一樣好
D.無法判斷誰生產的產品質量好一些
解析:根據離散型隨機變量的分布列可知甲生產的產品出廢品的平均值為0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,乙生產的產品出廢品的平均值為0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9,結合實際可知乙生產的產品質量比甲生產的產品質量好一些,故選B.
答案:B
3.已知隨機變量ξ的所有可能取值分別為1,2,3,4,5.若數學期望E(ξ)=4.2,則ξ取值為5的概率至少為( )
A.0.1 B.0.15
C.0.2 D.0.25
解析:設ξ的取值為1,2,3,4,5的
15、概率分別為p1,p2,p3,p4,p5,pi∈[0,1],i=1,2,3,4,5,則p1+p2+p3+p4+p5=1,則p1+2p2+3p3+4(1-p1-p2-p3-p5)+5p5=4.2?p5=0.2+3p1+2p2+p3≥0.2,當p1=p2=p3=0時等號成立.
答案:C
4.(20xx·西安模擬)前不久,社科院發(fā)布了度“全國城市居民幸福排行榜”,北京市成為本年度最“幸福城”,隨后,某師大附中學生會組織部分同學,用“10分制”隨機調查“陽光”社區(qū)人們的幸福度,現從調查人群中隨機抽取16名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖,小數點后一位數字為葉).
16、
(1)指出這組數據的眾數和中位數;
(2)若幸福度不低于9.5分,則稱該人的幸福度為“極幸?!保髲倪@16人中隨機選取3人,至多有1人是“極幸?!钡母怕?;
(3)以這16人的樣本數據來估計整個社區(qū)的總體數據,若從該社區(qū)(人數很多)任選3人,記ξ表示抽到“極幸福”的人數,求ξ的分布列及數學期望.
解析:(1)眾數:8.6;中位數:8.75.
(2)設Ai(i=0,1,2,3)表示所取3人中有i個人是“極幸福”,至多有1人是“極幸?!庇洖槭录嗀,則P(A)=P(A0)+P(A1)=+=.
(3)法一:ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)=3=;P(ξ=1)=C××2=;
17、
P(ξ=2)=C2×=;P(ξ=3)=3=.
ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=0.75.
法二:ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
則ξ~B,
P(ξ=k)=Ck3-k,k=0,1,2,3.
所以E(ξ)=3×=0.75.
5.(20xx·高考山東卷)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語.在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分;如果只有一人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是;每輪活動中甲、乙猜對與否
18、互不影響,各輪結果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動,求:
(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率;
(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數學期望E(X).
解析:(1)記事件A:“甲第一輪猜對”,
記事件B:“乙第一輪猜對”,
記事件C:“甲第二輪猜對”,
記事件D:“乙第二輪猜對”,
記事件E:“‘星隊’至少猜對3個成語”.
由題意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC,
由事件的獨立性與互斥性,
P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P
19、(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2×=,
所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.
(2)由題意,隨機變量 X可能的取值為0,1,2,3,4,6.
由事件的獨立性與互斥性,得
P(X=0)=×××=,P(X=1)=2×==,
P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,
P(X=3)=×××+×××==,
P(X=4)=2×
==,
P(X=6)=×××==.
可得隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
4
6
P
所以數學期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.