新編高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題1 突破點3　平面向量 Word版含解析

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1、 突破點3　平面向量 提煉1　平面向量共線、垂直的兩個充要條件　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 提煉2　數(shù)量積常見的三種應用　已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)證明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的長度：|a|＝＝. (3)求向量的夾角：cos〈a，b〉＝＝. 提煉3　平面向量解題中應熟知的常用結論　(1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，有＝λ＋μ

2、，且λ＋μ＝1. (2)C是線段AB中點的充要條件是＝(＋)． (3)G是△ABC的重心的充要條件為＋＋＝0，若△ABC的三個頂點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標為. (4)·＝·＝·?P為△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ＝， 向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ＝. 回訪1　平面向量的線性運算 1．(20xx·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則

3、向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　 B.(7,4) C.(－1,4) D.(1,4) A　設C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A.] 2．(20xx·全國卷Ⅰ)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A. B. C. D. C　如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝.] 回訪2　平面向量的數(shù)量積 3．(20xx·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　 B.0 C.1　　 D.2 C　

4、法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C.] 4．(20xx·全國乙卷)設向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，則x＝__________. －　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.] 5．(20xx·全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 3　∵a，

5、b的夾角為45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|， |2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10， ∴|b|＝3.] 回訪3　數(shù)量積的綜合應用 6．(20xx·全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________. 2　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. ∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. ∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.] 熱點題型1　平面向量的運算 題型分析：該熱點是高考的必考點之一，考查方式主要

6、體現(xiàn)在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等． 　(1)(20xx·深圳二模)如圖3-1，正方形ABCD中，M是BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) 圖3-1 A.　　　　　　　 B. C. D.2 (2)(20xx·天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) A．－ B. C. D. (1)B　(2)B　(1)法一：建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2

7、,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)．由＝λ＋μ，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以解得所以λ＋μ＝，故選B. 法二：因為＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，所以得所以λ＋μ＝，故選B. (2)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故選B.] 1．平面向

8、量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標運算來實現(xiàn)． 2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標化”的解題意識，注重數(shù)形結合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應用． 提醒：運算兩平面向量的數(shù)量積時，務必要注意兩向量的方向． 變式訓練1]　(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，則c·(a＋b)＝(　　) A．(2,12)　　　　　　　 B.(－2,12) C.14 D.10 (2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則＝______

9、____. 【導學號：859520xx】 (1)C　(2)－2　(1)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，∴c＝(1,4)． 而a＋b＝(2,3)，∴c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故選C. (2)∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則解得＝－2.] 熱點題型2　三角與向量的綜合問題 題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件． 　(名師押題)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (

10、1)當a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2)設函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求y＝f(x)＋4cos 的取值范圍． 解]　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，2分 ∴tan x＝－，4分 ∴cos2x－sin 2x＝＝＝.6分 (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin ＋，8分 由正弦定理得＝，可得sin A＝.9分 ∵b＞a，∴A＝，10分 y＝f(x)＋4cos＝sin－.11分 ∵x∈， ∴2x＋∈， ∴－1≤y≤－， 即y的取值范圍是.12分 平面

11、向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標形式，多與同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結合，計算的準確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關鍵點． 變式訓練2]　在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解]　(1)若m⊥n，則m·n＝0. 由向量數(shù)量積的坐標公式得sin x－cos x＝0，4分 ∴tan x＝1.6分 (2)∵m與n的夾角為，∴m·n＝|m|·|n|cos ，即sin x－cos x＝，8分 ∴sin ＝.10分 又∵x∈，∴x－∈， ∴x－＝，即x＝.12分