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1、新編高考數(shù)學復習資料
第3講 平面向量的數(shù)量積
一、選擇題
1．若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案 D
2．若向量a與b不共線，a·b≠0，且c＝a－b，則向量a與c的夾角為( )
A．0 B. C. D.
解析 ∵a·c＝a·
＝a·a－a·b＝a2－a
2、2＝0，
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故選D.
答案 D
3．若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c·(a＋2b)＝ ( )．
A．4 B．3 C．2 D．0
解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，則c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案 D
4．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，則λ等于 ( )．
A. B.
C. D.
解析 以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由
3、＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.]
答案 A
5．若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為( )．
A.－1 B．1 C. D．2
解析 由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因為|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2
4、＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案 B
6．對任意兩個非零的平面向量α和β，定義αβ＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且ab和ba都在集合中，則ab＝ ( )．
A. B．1 C. D.
解析 由定義αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，從而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因為θ∈，所以
5、單位向量，若它們的夾角是60°，則|a－3b|等于________．
解析 ∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.
答案
8. 已知向量, ，若，則的值為 ．
解析
答案
9． 如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________．
解析 以A點為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標系xOy，則＝(，0)，＝(，1)，
設F(t,2)，則＝(t,2)．
∵·＝t＝，∴t＝1，
所以·＝(，1)·(1－，2)＝.
答案
10．已
6、知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析 由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，
又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，
則a·c＝b·c＝－1，
由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，
∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案 4
三、解答題
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)設c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若
7、a＋λb與a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的投影．
解 (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0.
(2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb與a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)設向量a與b的夾角為θ，
向量a在b方向上的投影為|a|cos θ.
∴|a|cos θ＝＝＝－＝－.
12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求
8、以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；
(2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值．
解 (1)由題設知＝(3,5)，＝(－1,1)，則
＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的兩條對角線長分別為4，2.
(2)由題設知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－.
13．設兩向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．
解 由已
9、知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夾角為鈍角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
設2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴∴2t2＝7.∴t＝－，此時λ＝－.
即t＝－時，向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為π.
∴當兩向量夾角為鈍角時，t的取值范圍是
∪.
14． 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m＝，n＝，且滿足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，試判斷△ABC的形狀．
解 (1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2＝3，
∴cos A＝.∵0
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