2018年秋高中數學 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.4 平面向量共線的坐標表示學案 新人教A版必修4.doc

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2.3.4　平面向量共線的坐標表示 學習目標：1.理解用坐標表示兩向量共線的條件．(難點)2.能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共線；并掌握三點共線的判斷方法．(重點)3.兩直線平行與兩向量共線的判定．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 平面向量共線的坐標表示 (1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線，當且僅當存在實數λ，使a＝λb. (2)如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b(b≠0)共線． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)向量(1,2)與向量(4,8)共線．(　　) (2)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．(　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，則＝.(　　) [解析]　(1)正確．因為(4,8)＝4(1,2)，所以向量(1,2)與向量(4,8)共線． (2)正確．因為(－4，－6)＝－2(2,3)，所以向量(2,3)與向量(－4，－6)反向． (3)錯誤．當x2y2≠0時＝. [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．下列各對向量中，共線的是(　　) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2) D　[A，B，C中各對向量都不共線，D中b＝a，兩個向量共線．] 3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，則y＝________. －4　[∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.] [合 作 探 究攻 重 難] 判定直線平行、三點共線 　(1)已知A，B，C三點共線，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C點的橫坐標為6，則C點的縱坐標為(　　) A．－13　　　 B．9　　　 C．－9　　　 D．13 (2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？ [思路探究]　(1)→→ (2)→ (1)C　[(1)設C(6，y)，∵∥， 又＝(－8,8)，＝(3，y＋6)， ∴－8(y＋6)－38＝0， ∴y＝－9.] (2)[解]　∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， ＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又22－41＝0， ∴∥. 又＝(2,6)，＝(2,4)， ∴24－26≠0， ∴A，B，C不共線， ∴AB與CD不重合， ∴AB∥CD. [規(guī)律方法]　向量共線的判定方法 提醒：向量共線的坐標表達式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減． [跟蹤訓練] 1．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求證：A，B，C三點共線. 【導學號：84352230】 [證明]?。剑?，＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵74－8＝0， ∴∥，且，有公共點A， ∴A，B，C三點共線. 已知平面向量共線求參數 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？ 【導學號：84352231】 [思路探究]　法一：可利用b與非零向量a共線等價于b＝λa(λ>0，b與a同向；λ<0，b與a反向)求解； 法二：可先利用坐標形式的等價條件求k，再利用b＝λa判定同向還是反向． [解]　法一：(共線向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以 解得k＝λ＝－. 當k＝－時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因為λ＝－<0， 所以ka＋b與a－3b反向． 法二：(坐標法)由題知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， 因為ka＋b與a－3b平行， 所以(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 這時ka＋b＝＝－(a－3b)， 所以當k＝－時，ka＋b與a－3b平行，并且反向． [規(guī)律方法]　利用向量平行的條件處理求值問題的思路： (1)利用共線向量定理a＝λb(b≠0)列方程組求解． (2)利用向量平行的坐標表達式x1y2－x2y1＝0直接求解． [跟蹤訓練] 2．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，則實數λ的最小值是________． －　[因為a∥b，所以x2－x－λ＝0， 即λ＝x2－x＝2－≥－， 所以λ的最小值為－.] 向量共線的綜合應用 　(1)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，則2sin αcos α等于(　　) A．3 B．－3 C．－ D． (2)如圖2318所示，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標. 【導學號：84352232】 圖2318 [思路探究]　(1)先由a∥b推出sin α與cos α的關系，求tan α，再用“1”的代換求2sin αcos α. (2)要求點P的坐標，只需求出向量的坐標，由與共線得到＝λ，利用與共線的坐標表示求出λ即可；也可設P(x，y)，由∥及∥，列出關于x，y的方程組求解． (1)C　[(1)因為a∥b，所以cos α1－(－2)sin α＝0即cos α＝－2sin α，tan α＝－， 所以2sin αcos α＝＝ ＝＝－. (2)法一：(定理法)由O，P，B三點共線，可設＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)，＝－＝(－2,6)． 由與共線得(4λ－4)6－4λ(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P點的坐標為(3,3)． 法二：(坐標法)設P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng). 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，則得(x－4)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以P點的坐標為(3,3)．] [規(guī)律方法]　向量共線的坐標表示的應用 (1)已知兩個向量的坐標判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線知識，可以證明三點共線、直線平行等幾何問題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行. (2)已知兩個向量共線，求點或向量的坐標，求參數的值，求軌跡方程.要注意方程思想的應用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據. [跟蹤訓練] 3．如圖2319，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC與BD的交點P的坐標． 圖2319 [解]　設＝λ＝λ(11－1,6－2)＝(10λ，4λ)． 易得＝(－11,1)， ∴＝＋＝(10λ－11,4λ＋1)． 又＝(－8,4)，而與共線， ∴4(10λ－11)＋8(4λ＋1)＝0， 解得λ＝. 設點P的坐標為(xP，yP)， ∴＝(5,2)＝(xP－1，yP－2)， ∴ 即 故點P的坐標為(6,4). 共線向量與線段分點點坐標的計算 [探究問題] 1．設P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點P的坐標？ 提示：如圖所示，∵P為P1P2的中點， ∴＝， ∴－＝－， ∴＝(＋) ＝， ∴線段P1P2的中點坐標是. 2．設P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點P是線段P1P2的一個三等分點，則P點坐標是什么？ 提示：點P是線段P1P2的一個三等分點，分兩種情況： ①當＝時，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ＝； ②當＝時， ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝. 3．當＝λ時，點P的坐標是什么？ 提示：∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ， ∴＝ ＝(x1，y1)＋(x2，y2) ＝＋ ＝， ∴P. 　已知點A(3，－4)與點B(－1,2)，點P在直線AB上，且||＝2||，求點P的坐標. 【導學號：84352233】 [思路探究]　點P在直線AB上，包括點P在線段AB內和在線段AB的延長線上，因此應分類討論． [解]　設P點坐標為(x，y)， ||＝2||. 當P在線段AB上時，＝2， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P點坐標為. 當P在線段AB延長線上時，＝－2， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴解得 ∴P點坐標為(－5,8)． 綜上所述，點P的坐標為或(－5,8)． 母題探究：1.若將本例條件“||＝2||”改為“＝3”其他條件不變，求點P的坐標． [解]　因為＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)， 所以解得 所以點P的坐標為. 2．若將本例條件改為“經過點P(－2,3)的直線分別交x軸、y軸于點A，B，且||＝3||”，求點A，B的坐標． [解]　由題設知，A，B，P三點共線，且||＝3||，設A(x,0)，B(0，y)， ①點P在A，B之間，則有＝3， ∴(－x，y)＝3(－2－x,3)， 解得x＝－3，y＝9， 點A，B的坐標分別為(－3,0)，(0,9)． ②點P不在A，B之間， 則有＝－3，同理， 可求得點A，B的坐標分別為，(0，－9)． 綜上，點A，B的坐標分別為(－3,0)，(0,9)或，(0，－9)． [規(guī)律方法]　在求有向線段分點坐標時，不必過分強調公式記憶，可以轉化為向量問題后解方程組求解，同時應注意分類討論. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內所有向量的一組基底的是 (　　) A．a＝(0,0)，b＝(2,3) B．a＝(1，－3)，b＝(2，－6) C．a＝(4,6)，b＝(6,9) D．a＝(2,3)，b＝(－4,6) D　[只有D選項中兩個向量不共線，可以作為表示它們所在平面內所有向量的一組基底，故選D.] 2．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，則與a＋2b共線的向量可以是(　　) A．(，－1) B．(－1，－) C．(－，－1) D．(－1，) D　[因為a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，所以向量a＋2b與(－1，)是共線向量．故選D.] 3．已知兩點A(2，－1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a可以是 (　　) 【導學號：84352234】 A．(1，－2) B．(9,3) C．(－2,4) D．(－4，－8) D　[由題意，得＝(1,2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合條件的只有D項，故選D.] 4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于________． (－4，－8)　[∵a∥b，∴1m－(－2)2＝0， ∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)， ∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．] 5．設O是坐標原點，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當k為何值時，A，B，C三點共線？ [解]　∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， 又A，B，C三點共線， ∴由兩向量平行的充要條件，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得k＝－2或k＝11. 即當k＝－2或k＝11時，A，B，C三點共線．