《新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí):第十一章 第十節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí):第十一章 第十節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 Word版含解析(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
1.甲、乙兩隊(duì)在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題,比賽規(guī)定:對于每一個題,沒有搶到題的隊(duì)伍得0分,搶到題并回答正確的得1分,搶到題但回答錯誤的扣1分(即得-1分);若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時的得分 (分?jǐn)?shù)高者勝),求X的所有可能取值.
解析:X=-1,甲搶到一題但答錯了.
X=0,甲沒搶到題,或甲搶到2題,但答時一對一錯.
X=1時,甲搶到1題且答對或甲搶到3題,且
3、1錯2對.
X=2時,甲搶到2題均答對.
X=3時,甲搶到3題均答對.
所以X的可能取值為:-1,0,1,2,3.
2.一個袋中有1個白球和4個黑球,每次從中任取一個球,每次取出的黑球不再放回去,直到取得白球?yàn)橹?,求取球次?shù)的概率分布.
解析:設(shè)取球次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,4,5,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==,
∴隨機(jī)變量ξ的概率分布為:
ξ
1
2
3
4
5
P
3.若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
試求出
4、常數(shù)c,并寫出X的概率分布.
解析:由題意即
解之得c=,從而X的概率分布為:
X
0
1
P
4.某校組織一次冬令營活動,有8名同學(xué)參加,其中有5名男同學(xué),3名女同學(xué),為了活動的需要,要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù),記其中有X名男同學(xué).
(1)求X的概率分布;
(2)求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.
解析:(1)X的可能取值為0,1,2,3.
根據(jù)公式P(X=m)=算出其相應(yīng)的概率,即X的概率分布為
X
0
1
2
3
P
(2)去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為
P(X=1)+P(X=2)=+=.
5、
5.設(shè)S是不等式x2-x-6≤0的解集,整數(shù)m,n∈S.
(1)記“使得m+n=0成立的有序數(shù)組(m,n)”為事件A,試列舉A包含的基本事件;
(2)設(shè)ξ=m2,求ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望Eξ.
解析:(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,
即S={x|-2≤x≤3}.
由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件為(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)由于m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有不同取值為0,1,4,9,
且有P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,P(ξ=4)==,P(ξ=9)
6、=.
故ξ的概率分布為
ξ
0
1
4
9
P
所以 Eξ=0×+1×+4×+9×=.
6.某迷宮有三個通道,進(jìn)入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門.首次到達(dá)此門,系統(tǒng)會隨機(jī)(即等可能)為你打開一個通道.若是1號通道,則需要1小時走出迷宮;若是2號、3號通道,則分別需要2小時、3小時返回智能門,再次到達(dá)智能門時,系統(tǒng)會隨機(jī)打開一個你未到過的通道,直至走出迷宮為止.令ξ表示走出迷宮所需的時間.
(1)求ξ的概率分布;
(2)求ξ的數(shù)學(xué)期望.
解析:(1)ξ的所有可能取值為1,3,4,6.
P(ξ=1)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,
所
7、以ξ的概率分布為
ξ
1
3
4
6
P
(2)E(ξ)=1×+3×+4×+6×=(小時).
7.一個袋中裝有若干個大小相同的黑球、白球和紅球,已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是.
(1)若袋中共有10個球;
①求白球的個數(shù);
②從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的概率分布.
(2)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球的個數(shù)最少.
解析:(1)①記“從袋中任意摸出兩個球,至少得到一個白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個數(shù)為X,則
P(A
8、)=1-=,得到X=5.
故白球有5個.
②隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3,
其中P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
∴X的概率分布是
X
0
1
2
3
P
(2)證明:設(shè)袋中有n個球,其中y個黑球,
由題意得y=n,所以2y<n,2y≤n-1,故≤.
記“從袋中任意摸出兩個球,至少有1個黑球”為事件B,則P(B)=+×≤+×=.
所以白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于n,紅球的個數(shù)少于.故袋中紅球個數(shù)最少.
8.在一個盒子中,放有標(biāo)號分別為1,2,3,4的四個小球.現(xiàn)從這個盒子中,有放回地先后摸
9、出兩個小球,它們的標(biāo)號分別為x、y,記X=|x-y|.
(1)求隨機(jī)變量X的概率分布;
(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望;
(3)設(shè)“函數(shù)f(x)=nx2-Xx-1(x∈N+)在區(qū)間(2,3)上有且只有一個零點(diǎn)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.
解析:(1)X的所有取值為0,1,2,3,
∵X=0有,四種情況.
X=1時,有
六種情況.
X=2時,有四種情況.
X=3時,有兩種情況.
∴P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
則隨機(jī)變量X的概率分布為:
X
0
1
2
3
P
(2)數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(3)∵函數(shù)f(x)=nx2-Xx-1在(2,3)有且只有一個零點(diǎn),
∴①當(dāng)f(2)=0時,X=2n-,舍去.
②當(dāng)f(3)=0時,X=3n-,舍去.
③當(dāng)f(2)f(3)=(4n-1-2X)(9n-1-3X)<0時,
∴2n-<X<3n-.
當(dāng)n=1時,<X<,
∴X=2.
當(dāng)n≥2且n∈N+時,
X>2n-≥,
∴當(dāng)n=1時,P(A)=P(X=2)=.
當(dāng)n≥2且n∈N+時,P(A)=0.
故當(dāng)n=1時,事件A發(fā)生的概率為;
當(dāng)n≥2時,事件A發(fā)生的概率為0.