《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第四節(jié) 數(shù)列求和演練知能檢測》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第四節(jié) 數(shù)列求和演練知能檢測(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第四節(jié) 數(shù) 列 求 和
[全盤鞏固]
1.(2014·慈溪模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,若-am0,且Sm+1<0 B.Sm<0,且Sm+1>0
C.Sm>0,且Sm+1>0 D.Sm<0,且Sm+1<0
解析:選A ∵-am0,a1+am+1<0,∴Sm>0,且Sm+1<0.
2.已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且9S3=S6
2、,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為( )
A.或5 B.或5 C. D.
解析:選C 設(shè){an}的公比為q,顯然q≠1,由題意得=,所以1+q3=9,得q=2,所以是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,前5項(xiàng)和為=.
3.?dāng)?shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為( )
A.1+2n B.2+2n
C.n+2n-1 D.n+2+2n
解析:選C 由題意得an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1.
4.若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1=1,q=2,則Tn=++…+的結(jié)果可化為( )
A.1-
3、 B.1-
C. D.
解析:選C an=2n-1,設(shè)bn==2n-1,
則Tn=b1+b2+b3+…+bn=+3+…+2n-1=.
5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2cos nπ(n∈N*),Sn為它的前n項(xiàng)和,則等于( )
A.1 005 B.1 006 C.2 011 D.2 012
解析:選B 注意到cos nπ=(-1)n(n∈N*),故an=(-1)nn2.因此有S2 012=(-12+22)+(-32+42)+…+(-2 0112+2 0122)=1+2+3+…+2 011+2 012=
4、=1 006×2 013,所以=1 006.
6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2 014=( )
A.22 014-1 B.3×21 007-3
C.3×21 007-1 D.3×21 007-2
解析:選B 由===2,且a2=2,得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故S2 014=(a1+a3+a5+…+a2 013)+(a2+a4+a6+…+a2 014)=+=3×21 007-3.
7.在等比數(shù)列{an}中,若a1=,a4=-4,則公比
5、q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.
解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a4=a1q3,代入數(shù)據(jù)解得q3=-8,所以q=-2;等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|=2,則|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.
答案:-2 2n-1-
8.(2014·衢州模擬)對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=________.
解析:∵an+1-an=2n,
6、
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+22+2+2
=+2=2n-2+2=2n.
∴Sn==2n+1-2.
答案:2n+1-2[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
9.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),則S100=________.
解析:由an+2-an=1+(-1)n,知a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1,數(shù)列{a2k}是等差數(shù)列,a2k=2k.
∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6
7、+…+a100)[來源:]
=50+(2+4+6+…+100)
=50+=2 600.
答案:2 600
10.(2014·杭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=1-,其中n∈N*.
(1)設(shè)bn=,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=,數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn<對于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,請說明理由.
解: (1)證明:∵bn+1-bn=-=
-=-=2(常數(shù)),
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
∵a1=1,
∴b1=2,因此bn=2+(n-1)×2=2n,
8、由bn=得an=.
(2)cn=,cncn+2==2,
∴Tn=2<3,
依題意要使Tn<對于n∈N*恒成立,
只需≥3,
解得m≥3或m≤-4,所以m的最小值為3.
11.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成等差數(shù)列{bn},Sn是{bn}的前n項(xiàng)和,且b1=a1=1,S5=15.
a1
a2 a3[來源:]
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
…
(1)若數(shù)陣中從第3行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已
9、知a9=16,求a50的值;
(2)設(shè)Tn=++…+,求Tn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.
∵b1=1,S5=15,
∴S5=5+10d=15,d=1,
∴bn=1+(n-1)×1=n.
設(shè)從第3行起,每行的公比都是q,且q>0,則a9=b4q2,即4q2=16,q=2,
又1+2+3+…+9=45,故a50是數(shù)陣中第10行的第5個(gè)數(shù),a50=b10q4=10×24=160.
(2)∵Sn=1+2+…+n=,
∴Tn=++…+
=++…+
=2
=2
=.
12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且Tn+=λ(λ為
10、常數(shù)).令cn=b2n(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn.
解:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足上式.
∴an=2n-1(n∈N*).
故Tn=λ-,
所以n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=-+=.
故cn=b2n==(n-1)n-1,n∈N*,
所以Rn=0×0+1×1+2×2+3×3+…+(n-1)×n-1,
則Rn=0×1+1×2+2×3+…+(n-2)×n-1+(n-1)×n,
兩式相減,得
Rn=1+2+3+…+n-1-(n-1)×n
=-(n-1)×n
=-n,[
11、來源:]
整理,得Rn=.
所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn=.
[沖擊名校]
1.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為( )
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
解析:選D 當(dāng)n=2k時(shí),a2k+1+a2k=4k-1,
當(dāng)n=2k-1時(shí),a2k-a2k-1=4k-3,
∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,
∴a1=a5=…=a61.
∴a1+a2+a3+…+a60
=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)
12、=3+7+11+…+(2×60-1)
==30×61=1 830.
2.設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項(xiàng)的和.記bn=,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù).
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{bn}是等差數(shù)列,證明:c=0.
證明:由題設(shè),Sn=na+d.
(1)由c=0,得bn==a+d.
又b1,b2,b4成等比數(shù)列,
所以b=b1b4,即2=a,
化簡得d2-2ad=0.因?yàn)閐≠0,所以d=2a.
因此,對于所有的m∈N*,有Sm=m2a.
從而對于所有的k,n∈N*,有Snk=(
13、nk)2a=n2k2a=n2Sk.
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表達(dá)式,整理得,對于所有的n∈N*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1).
令A(yù)=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),
則對于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)
在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得
A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1
=64A+16B+4cd1,
從而有
由②③,得A=0,cd1=-5B,代入方程①,得B=0,從而cd1=0.即d1-d=0,b
14、1-d1-a+d=0,cd1=0.
若d1=0,則由d1-d=0,得d=0,與題設(shè)矛盾,所以d1≠0.
又cd1=0,所以c=0.
[高頻滾動(dòng)]
1.已知{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.若a2·a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5=( )
A.35 B.33 C.31 D.29
解析:選C 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a2·a3=a1·a4=2a1,即a4=2.
由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知,a4+2a7=2×,
∴a7==.
∴q3==,即q=.
∴a4=a1q3=a1×=2,
∴a1=16,∴S5==31.
2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1=( )
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C.(1-4-n) D.(1-2-n)[來源:]
解析:選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
∵a2=2,a5=,∴q3==,
∴a1=4,q=,∴an=4·n-1=n-3,
∴anan+1=2n-5=8×n-1,
a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).