2018年秋高中數(shù)學 模塊復習課學案 新人教A版選修2-3.doc

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模塊復習課 [核心知識回顧] 一、計數(shù)原理 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝mn種不同的方法． 3．排列數(shù) (1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示； (2)排列數(shù)公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. 4．組合數(shù) (1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符合C表示． (2)組合數(shù)公式C＝＝ 組合數(shù)性質：①C＝C.②C＝C＋C. 5．二項式定理 (1)二項式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn叫做二項式定理． (2)相關概念 ①公式右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式； ②各項的系數(shù)C叫做二項式系數(shù)； ③展開式中的Can－kbk叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1，它表示展開式的第k＋1項． 6．楊輝三角 (1)楊輝三角的特點 ①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等； ②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C＝C＋C. (2)各二項式系數(shù)的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 二、隨機變量及其分布 1．離散型隨機變量 所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量． 2．離散型隨機變量的分布列的定義及性質 (1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格形式表示為： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱上表為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．用等式可表示為P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，離散型隨機變量分布列還可以用圖象表示． (2)離散型隨機變量分布列的性質： (ⅰ)pi≥0，i＝1,2，…，n；(ⅱ)i＝1. 3．特殊分布 (1)兩點分布 X 0 1 P 1－p p 像上面這樣的分布列叫做兩點分布．如果隨機變量X的分布列為兩點分布，就稱X服從兩點分布，并稱P＝p(x＝1)為成功概率． (2)超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布． 4．條件概率 (1)條件概率的定義 一般地，設A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率． (2)條件概率的性質 ①任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1. ②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 5．事件的相互獨立性 (1)相互獨立事件的概念 設A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立． (2)相互獨立事件的性質 如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也都相互獨立． 6．獨立重復試驗與二項分布 (1)n次獨立重復試驗 一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗． (2)二項分布 一般地，在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 7．離散型隨機變量的均值與方差 (1)一般地，若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則稱E(X)＝ipi為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． 則把D(X)＝(xi－E(X))2pi叫做隨機變量X的方差，D(X)的算術平方根叫做隨機變量X的標準差，隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度． (2)兩點分布與二項分布的均值 ①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p；D(X)＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (3)性質 若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)．D(aX＋b)＝a2D(X)． 8．正態(tài)分布 (1)定義 一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為N(μ，σ2)． (2)正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率及3σ原則 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973. 三、統(tǒng)計案例 1．回歸分析 (1)回歸分析 回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)回歸直線方程 方程＝x＋是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數(shù)，其最小二乘估計分別為： 其中，(，)稱為樣本點的中心． 2．獨立性檢驗 (1)22列聯(lián)表． 一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． [易錯易混辨析] 1．將3個不同的小球放入4個盒子中，則有不同的放法種數(shù)有34個． () [提示]　本題是一個分步計數(shù)問題．對于第一個小球有4種不同的放法，第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，跟據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有444＝64種不同的放法． 2．從甲、乙等6人中選出3名代表，甲一定當選，則有20種選法． () [提示]　因為甲一定當選，所以只要從剩下的5人中選出2人即可，因此有C＝10種選法． 3．三個人踢球，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，球又回給甲，則不同的傳遞方式共有10種． (√) [提示]　可利用樹狀圖進行求解． 式子A＝中m≠n. () [提示]　當m＝n時，(n－m)?。?！＝1，即求n個元素的全排列數(shù)． 5．由0,1,2,3這4個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復數(shù)字的四位數(shù)共有343－A＝168(個) () [提示]　首位不含0，有3種選法，其余3位都有4種選法，共有343＝192個四位數(shù)；其中沒有重復數(shù)字的有3321＝18個，故有重復數(shù)字的四位數(shù)共有192－18＝174個． 6．3名醫(yī)生和6名護士被分配到三所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法有540種． (√) 7．(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關． (√) 8．在的二項展開式中，常數(shù)項為－160. (√) 9．在(1－x)9的展開式中系數(shù)最大的項是第5項和第6項． () [提示]　由通項公式得Tr＋1＝C(－1)rxr故第r＋1項的系數(shù)為(－1)rC. 故當r＝4時，即第5項的系數(shù)最大． 10．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128. () [提示]　當x＝0時，a0＝－1， 當x＝1時a7＋a6＋a5＋…＋a1＋a0＝27， ∴a7＋a6＋a5＋…＋a1＝27＋1＝129. 11．若的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，且x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a＝. (√) 12．離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值． () [提示]　隨機變量的取值都能一一列舉出來． 13．在區(qū)間[0,10]內(nèi)任意一個實數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值是離散型隨機變量． () [提示]　可以取區(qū)間[0,10]內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故其不是離散型隨機變量． 14．離散型隨機變量的分布列的每個隨機變量取值對應概率都相等． () [提示]　因為分布列中的每個隨機變量能代表的隨機事件，并非都是等可能發(fā)生的事件． 15．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為1. (√) [提示]　由分布列的性質可知，該說法正確． 16．超幾何分布的模型是不放回抽樣． (√) 17．超幾何分布的總體里可以有兩類或三類特點． () [提示]　超幾何分布的模型特征是“由較明顯的兩部分組成”． 18．若事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，相當于A，B同時發(fā)生． (√) 19．小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝C＝. () [提示]　所求概率應為P＝＝. 20．試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值． (√) [提示]　因為隨機試驗所有可能的結果是明確并且不只一個，只不過在試驗之前不能確定試驗結果會出現(xiàn)哪一個，故該說法正確． 21．必然事件與任何一個事件相互獨立． (√) [提示]　必然事件的發(fā)生與任何一個事件的發(fā)生，沒有影響． 22．二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有正整數(shù)． () [提示]　二項分布中隨機變量X的取值是小于等于n的所有自然數(shù)． 23．若a是常數(shù)，則D(a)＝0. (√) 24．已知Y＝3X＋2，且D(X)＝10，則D(Y)＝92. () [提示]　∵D(X)＝10，且Y＝3X＋2 ∴D(Y)＝D(3X＋2)＝9D(X)＝90. 25．離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描述，連續(xù)型隨機變量的概率分布用分布列描述． () [提示]　因為離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，連續(xù)型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線(函數(shù))描述． 26．正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的． () [提示]　正態(tài)曲線與x軸圍成的面積是1，它不隨μ和σ變化而變化． 27．若K2的觀測值k>6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? () [提示]　K2是檢驗吸煙與患肺病相關程度的量，是相關關系，而不是確定關系，是反映有關和無關的概率，故此說法不正確． 28．如果兩個變量x與y之間不存在著線性關系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫出一個線性方程． () [提示]　任何一組(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都能寫出一個線性方程，只是有無意義的問題，因此這個說法錯誤，線性關系是可以檢驗的，可以畫出帶狀散點圖，可以寫出一個擬合效果最好的線性方程． 29．利用線性回歸方程求出的值是準確值． () [提示]　因為利用線性回歸方程求出的值為估計值，而不是真實值． 30．變量x與y之間的回歸直線方程表示x與y之間的真實關系形式． () [提示]　因為變量x與y之間的線性回歸直線方程僅表示x與y之間近似的線性關系，x與y之間滿足y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差． [高考真題感悟] 1．(2017全國卷Ⅰ，6)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) 【導學號：95032268】 A．15　　　　　　　　 B．20 C．30 D．35 C　[因為(1＋x)6的通項為Cxr，所以(1＋x)6展開式中含x2的項為1Cx2和Cx4. 因為C＋C＝2C＝2＝30， 所以(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為30. 故選C.] 2．(2017全國卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 D　[由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為CCA＝36(種)，或列式為CCC＝32＝36(種)． 故選D.] 3．(2017全國卷Ⅲ，4)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 C　[因為x3y3＝x(x2y3)，其系數(shù)為－C22＝－40， x3y3＝y(tǒng)(x3y2)，其系數(shù)為C23＝80. 所以x3y3的系數(shù)為80—40＝40. 故選C.] 4．(2017浙江卷，8)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi， P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) A　[由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點分布， ∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)． 又∵06.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044)5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52.35(kg)． 9．(2017全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列； (2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？ [解]　(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4， P(X＝500)＝＝0.4. 因此X的分布列為 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500. 當300≤n≤500時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此EY＝2n0.4＋(1 200－2n)0.4＋(800－2n)0.2＝640－0.4n. 當200≤n<300時， 若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(n－200)－4n＝800－2n， 因此EY＝2n(0.4＋0.4)＋(800－2n)0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元． 10．(2016全國卷Ⅰ，19)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？ 【導學號：95032271】 [解]　(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2. 從而P(X＝16)＝0.20.2＝0.04； P(X＝17)＝20.20.4＝0.16； P(X＝18)＝20.20.2＋0.40.4＝0.24； P(X＝19)＝20.20.2＋20.40.2＝0.24； P(X＝20)＝20.20.4＋0.20.2＝0.2； P(X＝21)＝20.20.2＝0.08； P(X＝22)＝0.20.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68， 故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當n＝19時， E(Y)＝192000.68＋(19200＋500)0.2＋(19200＋2500)0.08＋(19200＋3500)0.04＝4 040； 當n＝20時， E(Y)＝202000.88＋(20200＋500)0.08＋(20200＋2500)0.04＝4 080. 可知當n＝19時所需費用的期望值小于當n＝20時所需費用的期望值，故應選n＝19. 11．(2016全國卷Ⅱ，18)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 ?！≠M 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． [解]　(1)設A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)設B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 EX＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.