《簡單的線性規(guī)劃問題》學(xué)案.ppt

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簡單的線性規(guī)劃問題 一 線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用 線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用 一是在人力 物力 資金等資源一定的條件下 如何使用它們來完成最多的任務(wù) 二是給定一項(xiàng)任務(wù) 如何合理安排和規(guī)劃 能以最少的人力 物力 資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù) 下面我們就來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用 例5 營養(yǎng)學(xué)家指出 成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0 075kg的碳水化合物 0 06kg的蛋白質(zhì) 0 06kg的脂肪 1kg食物A含有0 105kg碳水化合物 0 07kg蛋白質(zhì) 0 14kg脂肪 花費(fèi)28元 而1食物B含有0 105kg碳水化合物 0 14kg蛋白質(zhì) 0 07kg脂肪 花費(fèi)21元 為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求 同時(shí)使花費(fèi)最低 需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg 分析 將已知數(shù)據(jù)列成表格 二 例題 解 設(shè)每天食用xkg食物A ykg食物B 總成本為z那么 目標(biāo)函數(shù)為 z 28x 21y 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域 即可行域 把目標(biāo)函數(shù)z 28x 21y變形為 x y o 5 7 5 7 6 7 3 7 3 7 6 7 它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系 是直線在y軸上的截距 當(dāng)截距最小時(shí) z的值最小 M 如圖可見 當(dāng)直線z 28x 21y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí) 截距最小 即z最小 M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn) 解方程組 得M點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以zmin 28x 21y 16 由此可知 每天食用食物A143g 食物B約571g 能夠滿足日常飲食要求 又使花費(fèi)最低 最低成本為16元 例6 某人準(zhǔn)備投資1200萬元興辦一所完全中學(xué) 對(duì)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后 他得到了下面的數(shù)據(jù)表格 以班級(jí)為單位 分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件 若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定 初中每人每年可收學(xué)費(fèi)1600元 高中每人每年可收學(xué)費(fèi)2700元 那么開設(shè)初中班和高中班多少個(gè) 每年收費(fèi)的學(xué)費(fèi)總額最多 把上面四個(gè)不等式合在一起 得到 y x 20 30 40 20 30 o 另外 開設(shè)的班級(jí)不能為負(fù) 則x 0 y 0 而由于資金限制 26x 54y 2 2x 2 3y 1200 解 設(shè)開設(shè)初中班x個(gè) 高中班y個(gè) 因辦學(xué)規(guī)模以20 30個(gè)班為宜 所以 20 x y 30 y x 20 30 40 20 30 o 由圖可以看出 當(dāng)直線Z 7 2x 10 8y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí) 截距最大 即Z最大 設(shè)收取的學(xué)費(fèi)總額為Z萬元 則目標(biāo)函數(shù)Z 0 16 45x 0 27 40y 7 2x 10 8y Z 7 2x 10 8y變形為它表示斜率為的直線系 Z與這條直線的截距有關(guān) M 易求得M 20 10 則Zmax 7 2x 10 8y 252 故開設(shè)20個(gè)初中班和10個(gè)高中班 收取的學(xué)費(fèi)最多 為252萬元 例7 一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲 乙兩種混合肥料 生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t 硝酸鹽18t 生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t 硝酸鹽15t 現(xiàn)庫存磷酸鹽10t 硝酸鹽66t 在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料 列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式 并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域 并計(jì)算生產(chǎn)甲 乙兩種肥料各多少車皮 能夠產(chǎn)生最大的利潤 解 設(shè)x y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲 乙兩種混合肥料的車皮數(shù) 于是滿足以下條件 x y o 解 設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮 乙種肥料y車皮 能夠產(chǎn)生利潤Z萬元 目標(biāo)函數(shù)為Z x 0 5y 可行域如圖 把Z x 0 5y變形為y 2x 2z 它表示斜率為 2 在y軸上的截距為2z的一組直線系 x y o 由圖可以看出 當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí) 截距2z最大 即z最大 故生產(chǎn)甲種 乙種肥料各2車皮 能夠產(chǎn)生最大利潤 最大利潤為3萬元 M 容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 2 則Zmin 3 三 練習(xí)題 某廠擬生產(chǎn)甲 乙兩種適銷產(chǎn)品 每件銷售收入分別為3000元 2000元 甲 乙產(chǎn)品都需要在A B兩種設(shè)備上加工 在每臺(tái)A B上加工1件甲所需工時(shí)分別為1h 2h A B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)數(shù)分別為400h和500h 如何安排生產(chǎn)可使收入最大 設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件 生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件 每月收入為z 目標(biāo)函數(shù)為Z 3x 2y 滿足的條件是 Z 3x 2y變形為它表示斜率為的直線系 Z與這條直線的截距有關(guān) x y O 400 200 250 500 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí) 截距最大 Z最大 M 解方程組 可得M 200 100 Z的最大值Z 3x 2y 800 故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件 乙產(chǎn)品100件 收入最大 為80萬元 四 課時(shí)小結(jié) 線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路 1 應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型 即根據(jù)題意找出約束條件 確定線性目標(biāo)函數(shù) 2 用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解 即畫出可行域 在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解 一般最優(yōu)解在直線或直線的交點(diǎn)上 要注意斜率的比較 3 要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解 即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解