【教案】 公式法—— 一元二次方程根的判別式

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1、公式法—— 一元二次方程根的判別式 一、教學內容分析 “一元二次方程的根的判別式”一節(jié)，從定理的推導到應用都比較簡單。但是它在整個中學數(shù)學中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來判斷一元二次方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次三項式，二次函數(shù)，二次曲線等奠定基礎，并且用它可以解決許多其它綜合性問題。通過這一節(jié)的學習，培養(yǎng)學生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向學生滲透分類的數(shù)學思想，滲透數(shù)學的簡潔美。 教學重點：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運用 教學難點：根的判別式定理及逆定理的運用。 教學關鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透

2、徹理解。 二、教學目標 依據(jù)教學大綱和對教材的分析，以及結合學生已有的知識基礎，本節(jié)課的教學目標是： 知識和技能： 　1、感悟一元二次方程的根的判別式的產生的過程； 　2、能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理論證； 　3、會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍； 過程和方法： 　1、培養(yǎng)學生的探索、創(chuàng)新精神； 2、培養(yǎng)學生的邏輯思維能力以及推理論證能力。 情感態(tài)度價值觀： 1、向學生滲透分類的數(shù)學思想和數(shù)學的簡潔美； 2、加深師生間的交流，增進師生的情感； 3、培養(yǎng)學生的協(xié)作精神。 三、教學策略： 本著“以學生發(fā)展為本

3、”的教育理念，同時也為了使學生都能積極地參與到課堂教學中，發(fā)揮學生的主觀能動性，本節(jié)課主要采用了引導發(fā)現(xiàn)、講練結合的教學方法，按照“實踐——認識——實踐”的認知規(guī)律設計，以增加學生參與教學過程的機會和體驗獲取知識過程的時間，從而有效地調動了學生學習數(shù)學的積極性。具體如下： 序號 教師 學生 1 設置懸念 引發(fā)興趣 爭先恐后，欲解疑團 2 設計練習，創(chuàng)設情境 動手解題，親身感知 3 啟發(fā)引導，發(fā)現(xiàn)結論 觀察分析、得出結論 4 引導學生，理論驗證 閱讀理解，自學教材 5 揭示定理內涵 加深認識理解 6 應用定理，解決問題 鞏固應用，形成技能 7 歸

4、納小結 整體把握 8 布置作業(yè) 鞏固提高 四、教學流程： <一>、設置懸念，引發(fā)興趣： 【教師】：同學們，我們已經學會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現(xiàn)在老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學們可以隨便地出兩個題考考我。 【學生】會爭先恐后地編題考老師。 【說明】這樣設計，能馬上激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結論創(chuàng)造一個最佳的心理狀態(tài)。 <二>設置練習，創(chuàng)設情境。 【教師】你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現(xiàn)在就請同學們用公式法解，

5、以下三個一元二次方程；你們會很快發(fā)現(xiàn)我的奧秘。 用公式法解一元二次方程（用投影儀打出） (注：找三名學生板演，其余學生在位上做) 【學生】都在積極解答，尋找其中的奧秘。 【說明】這樣設計，使學生親身感知一元二次方程根的情況，培養(yǎng)了學生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發(fā)揮了學生的主觀能動性。 <三>啟發(fā)引導，發(fā)現(xiàn)結論： 【教師】請同學們觀察這三個方程的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出它的值——，為什么要這樣做呢？ 【學生】會初步說出 的作用是：它能決定方程是否可解。 【教師】（1）由此可見

6、：在解 起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)的值的符號來判斷 的根的情況，因此，我們把 叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△（讀作delta，它是希臘字母）”來表示，即△=。我們說在今后的數(shù)學學習中還會遇到：用一個簡單的符號來表示一個數(shù)學式子的情況，同學們要逐漸適應這一點，它體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美。 （3）通過解這三個方程，同學們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情 況有哪幾種，誰能總結出來？ 【學生】由于前面作了鋪墊，所以學生很快可以答出結論。 【說明】：這樣設計（1）是為了讓學生明白： 的值的符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。（2）是為了

7、培養(yǎng)學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發(fā)現(xiàn)結論的成功樂趣。 <四>引導學生，理論驗證： 【教師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？ 請同學們認真閱讀課本的內容，書上從理論方面給我們做了很好的解釋。 【學生】帶著老師提出的問題，會很認真地去看書，尋找答案。 【說明】這樣設計是為了培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，養(yǎng)成嚴格論證問題的習慣以及自學能力的培養(yǎng)。 <五>揭示定理： 【教師】（1）由此我們就得出了關于 若△＞0 則方程有兩個不相等的實數(shù)根 若△ =0 則方程有兩個相等的實數(shù)根

8、 若△＜0則方程沒有實數(shù)根 （2）我們說：這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理： 若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0 若方程有兩個相等的實數(shù)根， 則△=0 若方程沒有實數(shù)根， 則△＜0 （3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)△值的符號，用定理來判斷方程根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定△值的符號，進而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。 （4）注意運用定理和逆定理時，必須把所給的方程化成一般形式后方可使用。 【說明】這樣設

9、計是為了培養(yǎng)學生學會如何用數(shù)學語言來闡述發(fā)現(xiàn)的結論，如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對兩個定理的認識，為定理及逆定理的正確運用做好鋪墊。 重中之重 <六>應用定理，解決問題： 【教師】下面我們就來學習兩個定理的應用。 例1：不解方程判別下列方程根的情況（用投影儀打出） 分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定△值的符號， （4）補充了一個含有字母系數(shù)的方程，補充此題的目的是：使學生進一步地掌握此類題中△值的符號的判斷方法， 也為今后解綜合性問題打好基礎。在練習中作了相

10、應地補充。 分析：我先提出兩個問題： （1）是誰決定了方程有無實數(shù)根？ （2）現(xiàn)在要證方程無實數(shù)根，只要證明什么就行了？ 例2是補充的一個用定理證明的題目，它含有字母系數(shù)，它的證明實際與例1的第（4）的解法類似，但學生易于出錯，往往錯用逆定理來證。 注意；例1，例2之后我設計了一個小結：（1）關于運用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟以及關于△變形的一些經驗，從而使學生真正搞清搞透。 小結（1）關于運用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是： ①把方程化為一般形式，確定a、b、

11、c的值，計算△； ②用配方法等將△變形，使之符號明朗化后，判斷△的符號。 ③根據(jù)根的判別式定理，寫出結論。 （2）注意關于△的變形；一般情況下，△由配方或因式分解后能變形成 等形式；那么△的符號就明朗了，即可判斷其符號。 學生練習； 不解方程，判別下列方程根的情況 學以致 用 【說明】以上例題的設計，主要是為了給學生創(chuàng)造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調動全班同學參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，并培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力。

12、 注意：做以上練習時，學生板演，其余學生在位上做；板演后如果發(fā)現(xiàn)有錯或有其他解法，下面同學可主動上去糾正或寫出自己的不同解法，然后教師進行講評。從而調動學生的參與意識。 分析：要解決這個問題，應先假設方程有實根，然后根據(jù)根的判別式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解這個不等式，從而求出a的取值范圍，進而得出a的正整數(shù)解。 注意：本思考題是我補充的一個用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運用方法，本題讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最后讓學生自己完成。 <七>歸納小結 【教師】（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎上，

13、學習了根的判別式的應用，它在整個中學數(shù)學中占有重要地位，是中考命題的重要知識點，所以必須牢固掌握好它。 （2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當已知△值的符號時，使用定理；當已知方程根的情況時，使用逆定理。 判別式的情況 根 的 情 況 定 理 與 逆 定 理 △＞0 △＝0 △＜0 【說明】這樣設計是為了使學生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內容，與前后知識的聯(lián)系以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領的作用。 <八>布置作業(yè)： 1、閱讀課本P39的內容； 2、不解方程判定下列方程根的情況： 注 （第3、4題供學有余力的學生做） 【說明】這樣設計是為了使學生能及時鞏固本節(jié)課所學知識，培養(yǎng)學生自覺學習的習慣，同時對學有余力的學生留出自由的發(fā)展空間。 8 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改