【教案】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

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1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)與技能 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用． （二）過程與方法 培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力． （三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律； 2．培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神． 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法 1．教學(xué)重點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)． 2．教學(xué)難點(diǎn)：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系． 3．教學(xué)疑點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系． 三、教學(xué)過程 （一）明確目標(biāo) 一元二次方程x2-5x+6

2、=0的兩個(gè)根是x1=2，x2=3，可以發(fā)現(xiàn)x1＋x2=5恰是方程一次項(xiàng)系數(shù)-5的相反數(shù)，x1x2＝6恰是方程的常數(shù)項(xiàng)．其它的一元二次方程的兩根也有這樣的規(guī)律嗎？這就是本節(jié)課所研究的問題，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推導(dǎo)兩根和及兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系． （二）整體感知 一元二次方程的求根公式是由系數(shù)表達(dá)的，研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程的兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系．它是以一元二次方程的求根公式為基礎(chǔ)．學(xué)了這部分內(nèi)容，在處理有關(guān)一元二次方程的問題時(shí)，就會(huì)多一些思想和方法，同時(shí)，也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)． 本節(jié)先由發(fā)現(xiàn)數(shù)字系數(shù)

3、的一元二次方程的兩根和與兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系，到引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)論證一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用．向?qū)W生滲透認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、積極思維的精神． （三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程 1．復(fù)習(xí)提問 （1）寫出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系． 在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下，由學(xué)生得出結(jié)論，教師提問：所有的一元二次方程的兩個(gè)根都有這樣的規(guī)律嗎？ 2．推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系． 設(shè)x1、x2是方程ax2+bx+c=0

4、（a≠0）的兩個(gè)根． 以上一名學(xué)生在板書，其它學(xué)生在練習(xí)本上推導(dǎo)． 由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．（一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系） 結(jié)論1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1 我們就可把它寫成 x2+px+q=0． 結(jié)論2．如果方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時(shí)給研究問題帶來方便． 練習(xí)1．（口答）下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？ （1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0； （3）2x2-9x＋5＝0；（4

5、）4x2-7x＋1＝0； （5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0 此組練習(xí)的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系． 3．一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用． （1）驗(yàn)根．（口答）判定下列各方程后面的兩個(gè)數(shù)是不是它的兩個(gè)根． 驗(yàn)根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡單應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)要注意三個(gè)問題：（1）要先把一元二次方程化成標(biāo)準(zhǔn)型，（2）不要漏除二次項(xiàng)系數(shù)，（3）還要注意-b/a的負(fù)號(hào)。 （2）已知方程一根，求另一根． 例：已知方程2x2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k的值． 答：方程的另一根是-1/2,k的值7 此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程

6、達(dá)到目的，還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法，并且作比較． 方法（二）∵? -4是方程2x2+kx-4=0的根， ∴? 2×（-4）2＋k×（-4）-4＝0，∴? k＝7． ∴? 原方程可變?yōu)?x2+7x-4=0 解此方程x=-4或x=1/2 答：方程的另一個(gè)跟為1/2,k的值為7. 學(xué)生進(jìn)行比較，方法（二）不如方法（一）簡單，從而認(rèn)識(shí)到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值． 學(xué)習(xí)筆答、板書，評(píng)價(jià)，體會(huì)． （四）總結(jié)、擴(kuò)展 1．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行．它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基

7、礎(chǔ)． 2．以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力． 四、布置作業(yè) 1．教材習(xí)題．2．推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系． 五、板書設(shè)計(jì) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一） 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 關(guān)系的推導(dǎo) 應(yīng)用（1）驗(yàn)根 （1）…… …… （2）已知一根， 求另一根 （2）…… …… 六、教學(xué)反思 觀察、歸納、證明是研究事物的科學(xué)方法此節(jié)課在研究方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，先從具體例子觀察、歸納其規(guī)律，并且先從二次項(xiàng)系數(shù)是1的方程入手，然后提出二次項(xiàng)系數(shù)不是1

8、的，由此，猜想一般的一元二次方程 a11的根與系數(shù)關(guān)系，最后對(duì)此猜想的正確性作出證明.這個(gè)全過程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生正確的思考方法很有價(jià)值. 優(yōu)點(diǎn)：教學(xué)設(shè)計(jì)中補(bǔ)充了“簡化的一元二次方程”的定義，對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的敘述可以方便些.教學(xué)設(shè)計(jì)中還把根與系數(shù)關(guān)系作為兩個(gè)互逆的定理提出，可加深理解兩個(gè)性質(zhì)的不同功能.韋達(dá)定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，則可寫出些方程的兩根之和的值及兩極之積的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的兩個(gè)根，可寫出這個(gè)方程. 缺點(diǎn)：本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)注重開發(fā)學(xué)生的思維能力,但是學(xué)生理解很好，掌握起來卻很困難。教師在今后的教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)化繁為簡的教學(xué)方法，也就是在課堂45分鐘內(nèi)的內(nèi)容準(zhǔn)備一定要充分、簡單，使學(xué)生有成功感。還應(yīng)注意鍛煉學(xué)生們的動(dòng)手能力，課堂內(nèi)有充足的練習(xí)時(shí)間。 4 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改