新編浙江高考數(shù)學二輪復習教師用書:第1部分 重點強化專題 專題1 突破點1 三角函數(shù)問題 Word版含答案

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1、 專題一 三角函數(shù)與平面向量 建知識網(wǎng)絡 明內在聯(lián)系 [高考點撥] 三角函數(shù)與平面向量是浙江新高考的高頻考點,常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn),兩小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質與平面向量內容,一大題??疾榻馊切蝺热荩袝r平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識相交匯.本專題按照“三角函數(shù)問題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門別類進行備考. 突破點1 三角函數(shù)問題 (對應學生用書第7頁) [核心知識提煉] 提煉1 三角函數(shù)的圖象問題   (1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)解析式的確定:利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定A,利用周期確定ω,利用圖象的某一已知點坐

2、標確定φ. (2)三角函數(shù)圖象的兩種常見變換 提煉2 三角函數(shù)奇偶性與對稱性   (1)y=Asin(ωx+φ),當φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù);當φ=kπ+(k∈Z)時為偶函數(shù);對稱軸方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得,對稱中心的橫坐標可由ωx+φ=kπ,(k∈Z)解得. (2)y=Acos(ωx+φ),當φ=kπ+(k∈Z)時為奇函數(shù);當φ=kπ(k∈Z)時為偶函數(shù);對稱軸方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,對稱中心的橫坐標可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得. y=Atan(ωx+φ),當φ=kπ(k∈Z)時為奇函數(shù);對稱中心的橫坐標可由ωx+φ=(k∈Z)解

3、得,無對稱軸. 提煉3 三角變換常用技巧   (1)常值代換:特別是“1”的代換,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等. (2)項的分拆與角的配湊:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等. (3)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦. 提煉4 三角函數(shù)最值問題   (1)y=asin x+bcos x+c型函數(shù)的最值:可將y轉化為y=sin(x+φ)+c其中tan φ=的形式,這樣通過引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問題轉化為y=sin(x+φ)+c的最值問題,然后利用三

4、角函數(shù)的圖象和性質求解. (2)y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x型函數(shù)的最值:可利用降冪公式sin2x=,sin xcos x=,cos2x=,將y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x轉化整理為y=Asin 2x+Bcos 2x+C,這樣就可將其轉化為(1)的類型來求最值. [高考真題回訪] 回訪1 三角函數(shù)的圖象問題 1.(20xx·浙江高考)函數(shù)y=sin x2的圖象是(  ) D [∵y=sin(-x)2=sin x2, ∴函數(shù)為偶函數(shù),可排除A項和C項;當x=時,sin x2=sin ≠1,排除B項,故選D.] 2.(20x

5、x·浙江高考)為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 3x的圖象(  ) A.向右平移個單位 B.向左平移個單位 C.向右平移個單位 D.向左平移個單位 C [因為y=sin 3x+cos 3x=sin =sin,又y=cos 3x =sin=sin, 所以應由y=cos 3x的圖象向右平移個單位得到.] 3.(20xx·浙江高考)函數(shù)f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分別是 (  ) 【導學號:68334026】 A.π,1   B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 A [f(x)

6、=sin 2x+cos 2x=sin,所以最小正周期為T==π,振幅A=1.] 回訪2 三角函數(shù)的性質問題 4.(20xx·浙江高考)設函數(shù)f(x)=sin2x+bsin x+c,則f(x)的最小正周期(  ) A.與b有關,且與c有關 B.與b有關,但與c無關 C.與b無關,且與c無關 D.與b無關,但與c有關 B [當b=0時,f(x)=sin2x+c=+c=-cos 2x,其最小正周期為π. 當b≠0時,φ(x)=sin2x+c的最小正周期為π,g(x)=bsin x的最小正周期為2π,所以f(x)=φ(x)+g(x)的最小正周期為2π. 綜上可知,f(x

7、)=sin2x+bsin x+c的最小正周期與b有關,但與c無關.] 5.(20xx·浙江高考)函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是________,最小值是________. 【導學號:68334027】 π  [f(x)=sin2x+sin xcos x+1 =+sin 2x+1=+sin. 故最小正周期T==π.當sin=-1時,f(x)取得最小值為-=.] 6.(20xx·浙江高考)已知函數(shù)f(x)=sin2 x-cos2 x-2sin xcos x(x∈R). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.

8、[解] (1)由sin=,cos=-, 得f=2-2-2××, 得f=2. 6分 (2)由cos 2x=cos2 x-sin2 x與sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin, 所以f(x)的最小正周期是π. 8分 由正弦函數(shù)的性質得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 12分 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是 (k∈Z). 14分 回訪3 三角恒等變換 7.(20xx·浙江高考)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=________

9、,b=________.  1 [∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1=Asin(ωx+φ)+b,∴A=,b=1.] 8.(20xx·浙江高考)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=(  ) 【導學號:68334028】 A.     B. C.-     D.- C [把條件中的式子兩邊平方,得sin2α+4sin αcos α+4cos2α=,即3cos2α+4sin αcos α=, 所以=,所以=,即3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-,所以tan 2α==-.]

10、 (對應學生用書第9頁) 熱點題型1 三角函數(shù)的圖象問題 題型分析:高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面:一是考查三角函數(shù)解析式的求法;二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換,常以選擇、填空題的形式考查,難度較低. 【例1】 (1)將函數(shù)y=cos x+sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值是(  ) A.     B.     C.     D. (2)(20xx·紹興市方向性仿真考試)函數(shù)y=sin x(0<x<π)的圖象大致是 (  ) (1)A (2)B [(1)設f(x)=cos x+sin x=2

11、=2sin,向左平移m個單位長度得g(x)=2sin.∵g(x)的圖象關于y軸對稱,∴g(x)為偶函數(shù),∴+m=+kπ(k∈Z),∴m=+kπ(k∈Z),又m>0,∴m的最小值為. (2)法一:因為0<x<π,所以0<sin x≤1,所以y=sin x=|cos x|≥0,排除A,C,D,故選B. 法二:當x=時,y=,排除C,D; 當x=時,y=,排除A,故選B.] [方法指津] 1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式的確定 (1)A由最值確定,A=; (2)ω由周期確定; (3)φ由圖象上的特殊點確定. 提醒:根據(jù)“五點法”中的零點求φ時,一般先依據(jù)圖象的

12、升降分清零點的類型. 2.在圖象變換過程中務必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. [變式訓練1] (1)為了得到函數(shù)y=sin的圖象,可以將函數(shù)y=cos 2x的圖象(  ) 【導學號:68334029】 A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度 (2)(20xx·金華十校調研)函數(shù)f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的部分圖象如圖1-1所示,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)的值為(

13、  ) 圖1-1 A.0    B.2+    C.2    D.2- (1)B (2)B [(1)∵y=cos 2x=sin,∴y=cos 2x的圖象向右平移個單位長度,得y=sin=sin的圖象.故選B. (2)由題圖可得,A=2,T=8,=8,ω=, ∴f(x)=2sinx. ∴f(1)=,f(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0, 而2 018=8×252+2, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 018)=2+.] 熱點題型2 三角函數(shù)的性質問題 題型分析:三角函數(shù)的性質涉及周期性、單調性

14、以及最值、對稱性等,是高考的重要命題點之一,常與三角恒等變換交匯命題,難度中等. 【例2】 已知函數(shù)f(x)=4tan x·sin·cos-. (1)求f(x)的定義域與最小正周期; (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性. [解] (1)f(x)的定義域為. 1分 f(x)=4tan xcos xcos- =4sin xcos- =4sin x- =2sin xcos x+2sin2x- =sin 2x+(1-cos 2x)- =sin 2x-cos 2x=2sin. 4分 所以f(x)的最小正周期T==π. 6分 (2)令z=2x-,則函數(shù)y=

15、2sin z的單調遞增區(qū)間是,k∈Z. 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 8分 設A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=. 12分 所以當x∈時,f(x)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減. 14分 [方法指津] 研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質的“兩種”意識 1.轉化意識:利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式. 2.整體意識:類比于研究y=sin x的性質,只需將y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sin x中的“x”代入求解便可. [變式訓練2] (1)(名

16、師押題)已知函數(shù)f(x)=2sin,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象.關于函數(shù)g(x),下列說法正確的是(  ) A.在上是增函數(shù) B.其圖象關于直線x=-對稱 C.函數(shù)g(x)是奇函數(shù) D.當x∈時,函數(shù)g(x)的值域是[-2,1] (2)已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間,則φ的取值范圍為(  ) 【導學號:68334030】 A. B. C. D.∪ (1)D (2)C [(1)因為f(x)=2sin,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位,得g(x)=f=2s

17、in=2sin=2cos 2x. 對于A,由x∈可知2x∈,故g(x)在上是減函數(shù),故A錯;又g=2cos=0,故x=-不是g(x)的對稱軸,故B錯;又g(-x)=2cos 2x=g(x),故C錯;又當x∈時,2x∈,故g(x)的值域為[-2,1],D正確. (2)令2kπ+<2x+φ<2kπ+,k∈Z, 所以kπ+-≤x≤kπ+-,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)在上單調遞增. 因為是f(x)的一個單調遞增區(qū)間, 所以≤kπ+-,且kπ+-≤,k∈Z, 解得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z,又|φ|<π,所以≤φ≤.故選C.] 熱點題型3 三角恒等變換 題型分析:高考

18、對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面:一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數(shù)式化簡求值;二是以三角恒等變換為載體,考查y=Asin(ωx+φ)的有關性質. 【例3】 (1)(20xx·浙江五校聯(lián)考)如圖1-2,圓O與x軸的正半軸的交點為A,點C,B在圓O上,且點C位于第一象限,點B的坐標為,∠AOC=α,若|BC|=1,則cos2-sincos -的值為________. 圖1-2 (2)已知函數(shù)f(x)=sin2-cos2+2sin·cos+λ的圖象經(jīng)過點,則函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為________. (1) (2)- [(1)由題意可知|OB|=|BC|=1,

19、∴△OBC為正三角形. 由三角函數(shù)的定義可知,sin∠AOB=sin=, ∴cos2-sincos-=--=cos α-sin α=sin=. (2)f(x)=sin2-cos2+2sin·cos +λ=-cos+sin+λ=2sin+λ. 由f(x)的圖象過點, 得λ=-2sin=-2sin=-, 故f(x)=2sin-. 因為0≤x≤,所以-≤-≤. 因為y=sin x在上單調遞增, 所以f(x)的最大值為f=2sin-=-.] [方法指津] 1.解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則:一看“角”,通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理的拆分;二

20、是“函數(shù)名稱”,是需進行“切化弦”還是“弦化切”等,從而確定使用的公式;三看“結構特征”,了解變式或化簡的方向. 2.在研究形如f(x)=asin ωx+bcos ωx的函數(shù)的性質時,通常利用輔助角公式asin x+bcos x=·sin(x+φ)把函數(shù)f(x)化為Asin(ωx+φ)的形式,通過對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質的研究得到f(x)=asin ωx+bcos ωx的性質. [變式訓練3] (1)設α∈,β∈,且tan α=,則(  ) 【導學號:68334031】 A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= (2)已知sin+sin α=

21、-,-<α<0,則cos等于(  ) A.- B.- C. D. (1)B (2)C [(1)法一:由tan α=得=, 即sin αcos β=cos α+cos αsin β, ∴sin(α-β)=cos α=sin. ∵α∈,β∈, ∴α-β∈,-α∈, 由sin(α-β)=sin, 得α-β=-α, ∴2α-β=. 法二:tan α== = =cot =tan =tan, ∴α=kπ+,k∈Z, ∴2α-β=2kπ+,k∈Z. 當k=0時,滿足2α-β=, 故選B. (2)∵sin+sin α=-,-<α<0, ∴sin α+cos α=-, ∴sin α+cos α=-, ∴cos=cos αcos -sin αsin =-cos α-sin α=.]

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