2018年秋高中數學 第二章 數列 2.1 數列的概念與簡單表示法 第2課時 數列的通項與遞推公式學案 新人教A版必修5.doc
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第2課時 數列的通項與遞推公式 學習目標：1.理解遞推公式的含義(重點).2.掌握遞推公式的應用(難點).3.會求數列中的最大(小)項(易錯點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．數列遞推公式 (1)兩個條件： ①已知數列的第1項(或前n項)； ②從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示． (2)結論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數列的遞推公式． 思考：所有數列都有遞推公式嗎？ [提示] 不一定．例如精確到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列數：1,1.4,1.41,1.414，…沒有遞推公式． 2．數列遞推公式與通項公式的關系 遞推公式 通項公式 區(qū)別 表示an與它的前一項an－1(或前幾項)之間的關系f 表示an與n之間的關系 聯系 (1)都是表示數列的一種方法； (2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式 思考：僅由數列{an}的關系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能確定這個數列嗎？ [提示] 不能．數列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的，如果只有遞推關系而無初始值，那么這個數列是不能確定的． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)根據通項公式可以求出數列的任意一項．( ) (2)有些數列可能不存在最大項．( ) (3)遞推公式是表示數列的一種方法．( ) (4)所有的數列都有遞推公式．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4) 提示：并不是所有的數列都有遞推公式，如的精確值就沒有遞推公式． 2．符合遞推關系式an＝an－1的數列是( ) A．1,2,3,4，… B．1, ，2,2，… C.，2, ，2，… D．0, ，2,2，… B 3．數列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，則a5＝( ) 【導學號：91432124】 A．－3 B．－11 C．－5 D．19 D [a3＝a2＋a1＝5＋2＝7， a4＝a3＋a2＝7＋5＝12， a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故選D.] 4．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝________. [a2＝1＋＝1＋1＝2， a3＝1＋＝1＋＝， a4＝1＋＝1＋＝， a5＝1＋＝1＋＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 由遞推關系寫出數列的項 已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出． (1)寫出此數列的前5項； (2)通過公式bn＝構造一個新的數列{bn}，寫出數列{bn}的前4項. 【導學號：91432125】 [解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故數列{an}的前5項依次為a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故{bn}的前4項依次為b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. [規(guī)律方法] 由遞推公式寫出數列的項的方法： (1)根據遞推公式寫出數列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可. (2)若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如an＝2an＋1＋1. (3)若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式，如an＋1＝. [跟蹤訓練] 1．已知數列{an}的第1項a1＝1，以后的各項由公式an＋1＝給出，試寫出這個數列的前5項． [解] ∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝. 故該數列的前5項為1，，，，. 數列的最大(小)項的求法 已知數列{an}的通項公式為an＝(n＋1)n，試問數列{an}有沒有最大項？若有，求最大項；若沒有，說明理由. 【導學號：91432126】 思路探究：①an＋1－an等于多少？②n為何值時，an＋1－an>0？an＋1－an<0? [解] 法一：(單調性法)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n， 當n<9時，an＋1－an>0，即an
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