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課時(shí)作業(yè)51 橢圓
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1．若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不對(duì)
解析：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(－2,0)，
由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，
b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
答案：C
2．[2019武漢高中調(diào)研]曲線C1：＋＝1與曲線C2：＋＝1(0
9－k>0，所以曲線C2是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，記其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a2，短半軸長(zhǎng)為b2，半焦距為c2，則c＝a－b＝25－k－(9－k)＝16.曲線C1也是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，記其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，短半軸長(zhǎng)為b1，半焦距為c1，則c＝a－b＝25－9＝16，所以曲線C1和曲線C2的焦距相等，故選D.
答案：D
3．[2019湖北中學(xué)聯(lián)考]已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為( )
A. B．1
C. D.
解析：不妨設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)上方，由題意知：F2(1,0)，將F2的橫坐標(biāo)代入橢圓方程＋＝1中，可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故|AB|＝3，所以內(nèi)切圓半徑r＝＝＝(其中S為△ABF1的面積，C為△ABF1的周長(zhǎng))．故選D.
一題多解 由橢圓的通徑公式得|AB|＝＝3，則S△ABF1＝23＝3，又易得△ABF1的周長(zhǎng)C＝4a＝8，則由S△ABF1＝Cr可得r＝.故選D.
答案：D
4．[2019石家莊質(zhì)量檢測(cè)]傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且＝2，則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：由題可知，直線的方程為y＝x－c，與橢圓方程聯(lián)立得，∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，故必與橢圓有交點(diǎn)，
則Δ>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則，
又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，
∴－y1＝2y2，可得，∴＝，∴e＝，故選B.
答案：B
5．[2019陜西西安八校聯(lián)考]某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為a，圓錐的底面半徑為a、母線長(zhǎng)為a，因此其俯視圖中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a、短軸長(zhǎng)為a，其離心率e＝＝，選C.
答案：C
二、填空題
6．橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，以FA為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)B，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．
解析：以FA為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)B，則⊥，
所以＝0，＝(c，b)，＝(－a，b)，
所以＝b2－ac＝0，即a2－c2－ac＝0.
兩邊同除以a2，
得e2＋e－1＝0，所以e＝.
答案：
7．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2，則橢圓C的方程是______________．
解析：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)．
由題意知解得a2＝16，b2＝12.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
8．[2019山西月考]設(shè)F1、F2為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為_(kāi)_____________．
解析：∵△F2AB是面積為4的等邊三角形，
∴AB⊥x軸，∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－c，代入橢圓方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30，
∴＝2c ①.
又S△F2AB＝2c＝4?、?，a2＝b2＋c2?、?，
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答題
9．[2019貴州適應(yīng)性考試]設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右、右焦點(diǎn)，E的離心率為，點(diǎn)(0,1)是E上一點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且＝2，求直線BF2的方程．
解析：(1)由題意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線AB的方程為x＝my－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
則y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因?yàn)镕1(－1,0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
則kBF2＝或－，
所以直線BF2的方程為
y＝x－或y＝－x＋.
10．[2019廣東深圳模擬]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為，過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M是AB中點(diǎn)，且點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，當(dāng)QM⊥AB時(shí)，求直線l的方程．
解析：(1)由題意可知a2＋b2＝5，又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以a＝，b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)①若直線l的斜率不存在，此時(shí)M為原點(diǎn)，滿足QM⊥AB，所以，方程為x＝0.
②若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
x1＋x2＝，
由題意可知Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－.
設(shè)M(x0，y0)，則x0＝，y0＝k＋2＝，
由QM⊥AB可知k＝－1，化簡(jiǎn)得3k2＋5k＋2＝0，解得k＝－1或k＝－(舍)，
此時(shí)，直線l的方程為x＋y－2＝0.
綜上所述，直線l的方程為x＝0或x＋y－2＝0.
[能力挑戰(zhàn)]
11．[2019太原高三模擬]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，
∴|F1F2|2＝|AF1||F1B|，
即4c2＝(a－c)(a＋c)，即4c2＝a2－c2，即5c2＝a2，即a＝c，
∴橢圓C的離心率e＝＝，故選A.
答案：A
12．[2019湖南長(zhǎng)沙模擬]橢圓x2＋＝1(0，所以b>0)的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，且F1，E，A三點(diǎn)共線，則該橢圓的方程為_(kāi)_______．
解析：對(duì)于x2＋2＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，
∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，∵E的坐標(biāo)為，∴直線EF1的方程為＝，即y＝x＋，由
得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，
則2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，∴a＝2，∴b2＝2，
∴該橢圓的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
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