2017-2018學年高中數學 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標表示 2.3.1 平面向量基本定理優(yōu)化練習 新人教A版必修4.doc

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2.3.1 平面向量基本定理 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．已知e1和e2是表示平面內所有向量的一組基底，那么下面四組向量中不能作為一組基底的是(　　) A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2 解析：∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)， ∴e1－2e2與4e2－2e1共線，故不能作為基底． 其余三組均不共線． 答案：C 2．如果e1，e2是平面α內所有向量的一組基底，那么下列命題中正確的是(　　) A．已知實數λ1，λ2，則向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內 B．對平面α內任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數λ1，λ2有無數對 C．若有實數λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0 D．對平面α內任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數λ1，λ2不一定存在 解析：選項A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2與e1，e2共面，所以A項不正確；選項B中，實數λ1，λ2有且僅有一對，所以B項不正確；選項D中，實數λ1，λ2一定存在，所以D項不正確；很明顯C項正確． 答案：C 3．四邊形OABC中，＝，若＝a，＝b，則＝(　　) A．a－b B.－b C．b＋ D．b－a 解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故選 D. 答案：D 4．若P為△OAB的邊AB上一點，且△OAP的面積與△OAB的面積之比為1∶3，則有(　　) A.＝＋2 B.＝2 ＋ C.＝＋ D.＝＋ 解析：因為△OAP的面積與△OAB的面積之比為1∶3，所以＝，所以－＝(－)，所以＝＋. 答案：C 5．已知||＝2，||＝，∠AOB＝120，點C在∠AOB內，∠AOC＝30，設＝m＋n(m，n∈R)，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，過點C作CM∥OB，CN∥OA， 則＝＋，設||＝x，則||＝2x， ＝2x＋x＝x＋x， 所以m＝x，n＝，所以＝＝. 答案：B 6．若|a|＝|b|＝|a－b|，則a與b的夾角為________． 解析：如圖，＝a，＝b，＝a－b， 因為|a|＝|b|＝|a－b|，所以OA＝OB＝AB， 所以a與b的夾角為∠AOB＝60. 答案：60 7.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和 BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R， 則λ＋μ＝________. 解析：設＝a，＝b，則＝a＋b， ＝a＋b，得a＝(2 －)，b＝(2 －)，又因為＝a＋b， 所以＝(＋)，即λ＝μ＝， 所以λ＋μ＝. 答案： 8．如圖所示，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、 CD的中點，EF與AC交于點G，若＝a，＝b， 用a，b表示＝________. 解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－＝a＋b－(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 9.如圖所示，設M，N，P是△ABC三邊上的點， 且＝，＝，＝，若＝a， ＝b，試用a，b將，，表示出來． 解析：＝－＝－＝a－b， ＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b， ＝－＝－(＋)＝(a＋b)． 10．若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足：＝＋. (1)求△ABM與△ABC的面積之比； (2)若N為AB中點，AM與CN交于點O，設＝x＋y，求x，y的值． 解析：(1)由＝＋可知M，B，C三點共線， 如圖，令＝λ?＝＋＝＋λ＝ ＋λ(－)＝(1－λ)＋λ?λ＝，所以＝， 即面積之比為1∶4. (2)由＝x＋y?＝x＋，＝＋y，由O，M，A三點共線及O，N，C三點共線?? [B組　能力提升] 1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60， AH⊥BC于H，M為AH的中點，若＝λ＋μ， 則λ，μ的值分別是(　　) A.， B.， C.， D.， 解析：＝＝(＋)， 因為AH⊥BC，∠ABC＝60， 所以BH＝1，所以BH＝BC， 故＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， 故λ＝，μ＝. 答案：B 2．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，則＝(　　) A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 解析：因為＝＋＝＋λ ＝＋λ(－)＝＋λ－λ， 所以(1＋λ)＝＋λ， 所以＝＋＝a＋ B. 答案：D 3．設非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則a與b的夾角為(　　) A．150 B．120 C．60 D．30 解析：∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c， ∴如圖所示就是符合題設條件的向量， 易知OACB是菱形，△OBC和△OAC 都是等邊三角形． ∴a與b的夾角為120. 答案：B 4．已知e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，且＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，如果A，B，D三點共線，則k的值為________． 解析：＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因為A，B，D三點共線，所以存在實數λ，使＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以解得k＝－8. 答案：－8 5．如圖所示，PQ過△AOB的重心G，設＝a， ＝b，＝ma，＝nb.求證：＋＝3. 解析：連接OG并延長，交AB于M(圖略)， 則M是AB的中點，由G為△OAB的重心得： ＝＝(＋)＝(a＋b)， ＝－＝(a＋b)－ma ＝a＋b， ＝－＝(a＋b)－nb， ＝a＋b. ∵P，G，Q三點共線， ∴＝λ， 即a＋b＝a＋λb. ∵a，b不共線，∴由平面向量基本定理得： ?m＋n＝3mn，∴＋＝3. 6．如圖所示，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB 及線段AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(不含邊界)運動， 且＝x＋y. (1)求x的取值范圍； (2)當x＝－時，求y的取值范圍． 解析：(1)因為＝x＋y，以OB和OA的反向延長線為兩鄰邊作平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則可知OP為此平行四邊形的對角線，當OP長度增大且靠近OM時，x趨向負無窮大，所以x的取值范圍是(－∞，0)． (2)如圖所示，當x＝－時，在OA的反向延長線取點C， 使OC＝OA，過C作CE∥OB，分別交OM和AB的 延長線于點D，E，則CD＝OB，CE＝OB， 要使P點落在指定區(qū)域內，則P點應落在DE上， 當點P在點D處時＝－＋， 當點P在點E處時＝－＋， 所以y的取值范圍是.