2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列 第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第二章　2.2　第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì) A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12等于(　A　) A．15　　　 B．30　　　 C．31　　　 D．64 [解析]　∵a7＋a9＝a4＋a12， ∴a12＝16－1＝15. 2．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　C　) A．14 B．21 C．28 D．35 [解析]　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12， ∴a4＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28. 3．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(　C　) A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)1＋a101<0 C．a(chǎn)1＋a101＝0 D．a(chǎn)51＝51 [解析]　由題設(shè)a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0， ∴a51＝0.∴a1＋a101＝2a51＝0，故選C． 4．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于(　B　) A．－1 B．1 C．3 D．7 [解析]　∵{an}是等差數(shù)列， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33， ∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1. 5．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，則a3＋a4＝(　D　) A．5 B．6 C．7 D．8 [解析]　在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9， ∴a3＝3； 又a2＋a4＋a6＝3a4＝15， ∴a4＝5，∴a3＋a4＝8. 6．設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13等于(　B　) A．120 B．105 C．90 D．75 [解析]　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5， 又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16， ∵d>0，∴d＝3. 則a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105. 二、填空題 7．(2018－2019學(xué)年度北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中高二月考)在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，則a2＋a3＝__15__. [解析]　解法一：設(shè)公差為d，∵a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝30， ∴2a1＋3d＝15. 又a2＋a3＝2a1＋3d＝15. 解法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a4＝a2＋a3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30， ∴a2＋a3＝15. 8．已知等差數(shù)列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的兩根，則a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__15__. [解析]　∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝6＝15. 三、解答題 9．已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通項(xiàng)公式． [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得 a3＋a7＝a4＋a6＝－4， 又∵a3a7＝－12， ∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的兩根． 又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2. ∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2. ∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12. 10．四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)． [解析]　設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)． 依題意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4. B級(jí)　素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列{an}中，a2＝2，a6＝0且數(shù)列{}是等差數(shù)列，則a4等于(　A　) A． B． C． D． [解析]　令bn＝，則b2＝＝，b6＝＝1， 由條件知{bn}是等差數(shù)列， ∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝， ∴d＝，∴b4＝b2＋2d＝＋2＝， ∵b4＝，∴a4＝. 2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為(　C　) A．14 B．15 C．16 D．17 [解析]　由題意，得5a8＝120，∴a8＝24， ∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16. 3．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于(　B　) A．－1 B．1 C．3 D．7 [解析]　∵{an}是等差數(shù)列， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33， ∴d＝a4－a3＝－2， a20＝a4＋16d＝33－32＝1. 4．(2015北京理，6)設(shè){an}是等差數(shù)列．下列結(jié)論中正確的是(　C　) A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，則a2＞ D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0 [解析]　先分析四個(gè)答案，A舉一反例a1＝2，a2＝－1，則a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A錯(cuò)誤；B舉同樣反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B錯(cuò)誤；下面針對(duì)C進(jìn)行研究，{an}是等差數(shù)列，若00，設(shè)公差為d，則d>0，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，則a>a1a3?a2>，選C． 二、填空題 5．在等差數(shù)列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，則am＝__(A＋B)__. [解析]　∵m－n，m，m＋n成等差數(shù)列，又{an}是等差數(shù)列．∴am－n，am，am＋n成等差數(shù)列， ∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝(A＋B)． 6．若x≠y，兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差數(shù)列，則＝____. [解析]　設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為d1，d2， 由已知，得，即， 解得＝，即＝＝. 三、解答題 7．四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的積比第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積少18，求此四個(gè)數(shù)． [解析]　設(shè)四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，據(jù)題意得， (a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94 ?2a2＋10d2＝47.① 又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝代入①得a＝，故所求四個(gè)數(shù)為8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 8．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9. [解析]　解法一：a2＋a6＋a10＝a1＋d＋a1＋5d＋a1＋9d＝3a1＋15d＝1，∴a1＋5d＝. ∴a3＋a9＝a1＋2d＋a1＋8d＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. 解法二：∵{an}為等差數(shù)列， ∴2a6＝a2＋a10＝a3＋a9，∴a2＋a6＋a10＝3a6＝1， ∴a6＝，∴a3＋a9＝2a6＝. C級(jí)　能力拔高 1．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通項(xiàng)an. [解析]　∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1()a2()a3＝. ∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3， 又{an}成等差數(shù)列∴a2＝1，a1＋a3＝2， ∴b1b3＝，b1＋b3＝， ∴或，即或， ∴an＝2n－3或an＝－2n＋5. 2．已知{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若從數(shù)列{an}中，依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第6項(xiàng)、…、第2n項(xiàng)，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，試求出{bn}的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2， ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝22n＝4n. 當(dāng)n>1時(shí)，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. ∴{bn}是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.