新編一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第十一章 第十節(jié)　離散型隨機(jī)變量及其概率分布 Word版含解析

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1、 1．甲、乙兩隊(duì)在一次對抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個(gè)題，沒有搶到題的隊(duì)伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分(即得－1分)；若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分 (分?jǐn)?shù)高者勝)，求X的所有可能取值． 解析：X＝－1，甲搶到一題但答錯(cuò)了． X＝0，甲沒搶到題，或甲搶到2題，但答時(shí)一對一錯(cuò)． X＝1時(shí)，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯(cuò)2對． X＝2時(shí)，甲搶到2題均答對． X＝3時(shí)，甲搶到3題均答對． 所以X的可能取值為：－1,0,1,2,3. 2．一個(gè)袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，每次取出的黑球不再放回去，直到取得白球

2、為止，求取球次數(shù)的概率分布． 解析：設(shè)取球次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1,2,3,4,5， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， ∴隨機(jī)變量ξ的概率分布為： ξ 1 2 3 4 5 P 3.若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 試求出常數(shù)c，并寫出X的概率分布． 解析：由題意即 解之得c＝，從而X的概率分布為： X 0 1 P 4.某校組織一次冬令營活動(dòng)，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動(dòng)的需要，要從這8名

3、同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué)． (1)求X的概率分布； (2)求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率． 解析：(1)X的可能取值為0,1,2,3. 根據(jù)公式P(X＝m)＝算出其相應(yīng)的概率，即X的概率分布為 X 0 1 2 3 P (2)去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為 P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 5．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件； (2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望Eξ. 解析：(1)

4、由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9， 且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝. 故ξ的概率分布為 ξ 0 1 4 9 P 所以 Eξ＝0×＋1×＋4×＋9×＝. 6．某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為

5、你打開一個(gè)通道．若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門，再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間． (1)求ξ的概率分布； (2)求ξ的數(shù)學(xué)期望． 解析：(1)ξ的所有可能取值為1,3,4,6. P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝， 所以ξ的概率分布為 ξ 1 3 4 6 P (2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小時(shí))． 7．一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是

6、；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是. (1)若袋中共有10個(gè)球； ①求白球的個(gè)數(shù)； ②從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布． (2)求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球的個(gè)數(shù)最少． 解析：(1)①記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為X，則 P(A)＝1－＝，得到X＝5. 故白球有5個(gè)． ②隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3， 其中P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. ∴X的概率分布是 X 0 1 2

7、 3 P (2)證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球， 由題意得y＝n，所以2y＜n,2y≤n－1，故≤. 記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，則P(B)＝＋×≤＋×＝. 所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于n，紅球的個(gè)數(shù)少于.故袋中紅球個(gè)數(shù)最少． 8．在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)小球．現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后摸出兩個(gè)小球，它們的標(biāo)號(hào)分別為x、y，記X＝|x－y|. (1)求隨機(jī)變量X的概率分布； (2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望； (3)設(shè)“函數(shù)f(x)＝nx2－Xx－1(x∈N＋)在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事

8、件A，求事件A發(fā)生的概率． 解析：(1)X的所有取值為0,1,2,3， ∵X＝0有，四種情況． X＝1時(shí)，有 六種情況． X＝2時(shí)，有四種情況． X＝3時(shí)，有兩種情況． ∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 則隨機(jī)變量X的概率分布為： X 0 1 2 3 P (2)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (3)∵函數(shù)f(x)＝nx2－Xx－1在(2,3)有且只有一個(gè)零點(diǎn)， ∴①當(dāng)f(2)＝0時(shí)，X＝2n－，舍去． ②當(dāng)f(3)＝0時(shí)，X＝3n－，舍去． ③當(dāng)f(2)f(3)＝(4n－1－2X)(9n－1－3X)＜0時(shí)， ∴2n－＜X＜3n－. 當(dāng)n＝1時(shí)，＜X＜， ∴X＝2. 當(dāng)n≥2且n∈N＋時(shí)， X＞2n－≥， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，P(A)＝P(X＝2)＝. 當(dāng)n≥2且n∈N＋時(shí)，P(A)＝0. 故當(dāng)n＝1時(shí)，事件A發(fā)生的概率為； 當(dāng)n≥2時(shí)，事件A發(fā)生的概率為0.