2019高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題分層練10 壓軸小題巧解練（2）文.doc

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小題分層練(十)　壓軸小題巧解練(2) (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．(2018東莞高三二模)已知函數(shù)f(x)＝3x－的圖象上的兩點(diǎn)(x0，y0)，(4＋x0，x0＋y0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)(　　) A. 在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增 B. 在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減 C．在(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減 D. 在(－∞，0)∪(0，＋∞)在內(nèi)單調(diào)遞增 A　[易知函數(shù)f(x)＝3x－為奇函數(shù)，因?yàn)槠鋱D象上的兩點(diǎn)(x0，y0)(4＋x0，x0＋y0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以解得即－6＋＝1，解得a＝14，即f(x)＝3x－，則f(x)＝3x－在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，故選A.] 2．(2018江西高三質(zhì)監(jiān))函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]?D使得f(x)在[a，b]上的值域?yàn)?，則稱函數(shù)f(x)為“成功函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝logm(mx＋2t)(其中m＞0，且m≠1)是“成功函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B. C. D. D　[無(wú)論m＞1還是0＜m＜1，f(x)＝logm(mx＋2t)都是R上的單調(diào)增函數(shù)，故應(yīng)有則問題可轉(zhuǎn)化為求f(x)＝，即f(x)＝logm(mx＋2t)＝，即mx＋2t＝mx在R上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的問題，令λ＝mx(λ＞0)，則mx＋2t＝mx可化為λ2－λ＋2t＝0，則故0＜t＜，選D.] 3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)對(duì)任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝x－1，若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰好有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，2) D　[∵對(duì)于任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(2＋x)，∴函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且T＝4. 又∵當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝x－1，且函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 則函數(shù)y＝f(x)與y＝loga(x＋2)在區(qū)間(－2,6]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示： 又f(－2)＝f(2)＝3， 則對(duì)于函數(shù)y＝loga(x＋2)，由題意可得，當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值小于3，當(dāng)x＝6時(shí)的函數(shù)值大于3， 即loga4＜3，且loga8＞3，由此解得＜a＜2.] 4．已知橢圓C：＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，圓x2＋y2＝4上有一動(dòng)點(diǎn)P，P不同于A，B兩點(diǎn)，直線PA與橢圓C交于點(diǎn)Q，則的取值范圍是(　　) A.∪ B．(－∞，0)∪ C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1) D　[由題意得A(－2,0)，B(2,0)，F(xiàn)(1,0)，PA⊥PB. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，則kQAkQF＝＝ ＝＝. ∴＝－＝＝， 又x0∈(－2,2)且x0≠1， ∴＜0或0＜＜1， 故的取值范圍為(－∞，0)∪(0,1)．選D.] 5．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. A　[根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因?yàn)?≤b＜2，所以0＜e≤.] (教師備選) (2018河南鄭州高三二模)如圖，已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(2,4)，圓C：x2＋y2－4x＋3＝0，過圓心C2的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則|PN|＋4|QM|的最小值為(　　) A. 23 B. 42 C. 12 D. 52 A　[由題意拋物線過定點(diǎn)(2,4)，得拋物線方程y2＝8x，焦點(diǎn)為F(2,0)．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝1，所以圓心為(2,0)，半徑r＝1.由于直線過焦點(diǎn)，所以有＋＝＝，又|PN|＋4|QM|＝(PF＋1)＋(4QF＋4)＝PF＋4QF＋5＝2(PF＋4QF)＋5＝2＋5≥23，當(dāng)且僅當(dāng)PF＝2QF時(shí)等號(hào)成立．選A.] 6．拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C. D. D　[經(jīng)過第一象限的雙曲線C2的漸近線方程為y＝x.拋物線C1的焦點(diǎn)為F1，雙曲線C2的右焦點(diǎn)為F2(2,0)．因?yàn)閥＝x2，所以y′＝x，所以拋物線C1在點(diǎn)M處的切線斜率為，即x0＝，所以x0＝p.因?yàn)镕1，F(xiàn)2(2,0)，M三點(diǎn)共線，所以＝，解得p＝，故選D.] (教師備選) (2018遼寧大連高三一模)若直線kx－y－k＋1＝0(k∈R)和曲線E：y＝ax3＋bx2＋(b≠0)的圖象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1＜x2＜x3)三點(diǎn)時(shí)，曲線E在A、C點(diǎn)處的切線總是平行的，則過點(diǎn)(b，a)可作曲線E的幾條切線．(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C　[直線kx－y－k＋1＝0(k∈R)過定點(diǎn)(1,1)， 由題意可知：定點(diǎn)(1,1)是曲線E：y＝ax3＋bx2＋(b≠0)的對(duì)稱中心， 解得，所以曲線E：y＝x3－x2＋，(b，a)＝. f′(x)＝x2－2x，設(shè)切點(diǎn)M(x0，y0)， 則M縱坐標(biāo)y0＝x3－x＋，又f′(x0)＝x－2x0， ∴切線的方程為：y－＝(x－2x0)(x－x0)， 又直線過定點(diǎn)，∴－＝(x－2x0)(－1－x0)，得x－3x0－2＝0，(x－x0)－2(x0＋1)＝0，即(x0＋1)(x－x0－2)＝0， 解得x0＝2或－1，故可做兩條切線，選C.] 7．(2018昆明二模)已知函數(shù)f(x)＝＋k(ln x－x)，若x＝1是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，e] B．(－∞，e) C．(－e，＋∞) D．[－e，＋∞) A　[由函數(shù)f(x)＝＋k(ln x－x)，可得f′(x)＝＋k＝，∵f(x)有唯一極值點(diǎn)x＝1，∴f′(x)＝0有唯一根x＝1，∴－k＝0無(wú)根，即y＝k與g(x)＝無(wú)交點(diǎn)，可得g′(x)＝，由g′(x)＞0得，g(x)在[1，＋∞)上遞增，由g′(x)＜0得，g(x)在(0,1)上遞減，∴g(x)min＝g(1)＝e，∴k≤e，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，e]，故選A.] 8．(2018廣東茂名高三二模)若對(duì)任意的x＞0，不等式x2－2mln x≥1(m≠0)恒成立，則m的取值范圍是(　　) A．{1} B．[1，＋∞) C．[2，＋∞) D．[e，＋∞) A　[由已知可得x2－2mln x－1≥0對(duì)任意的x＞0恒成立， 設(shè)f(x)＝x2－2mln x－1，則f′(x)＝2x－＝， 當(dāng)m＜0時(shí)f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝0，∴在(0,1)上f(x)＜0，不合題意； 當(dāng)m＞0時(shí)，可知f(x)在(0，)單調(diào)遞減，在(，＋∞)單調(diào)遞增，要使f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，只要f()≥0，令g(m)＝f()＝m－mln m－1(m＞0)，g′(m)＝－ln m，可知g(m)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又g(1)＝0，∴g(m)≤0，∴g(m)＝0，∴m＝1.故選A.] 9．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．－13 B．－15 C．10 D．15 A　[求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0， 即－34＋2a2＝0，所以a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4. 又因?yàn)閒′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x＝1， 所以當(dāng)n∈[－1,1]時(shí)，f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.] 10．(2018四川德陽(yáng)高三二診)如圖43，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為α的直線l，l與拋物線及其準(zhǔn)線從上到下依次交于A、B、C點(diǎn)，令＝λ1，＝λ2，則當(dāng)α＝時(shí)，λ1＋λ2的值為(　　) 圖43 A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 B　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)可得|AB|＝x1＋x2＋2＝＝， ∴x1＋x2＝，又x1x2＝＝1，可得x1＝3，x2＝， 分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，則＝λ1＝＝＝3，同理可得＝λ2＝1，∴λ1＋λ2＝4，故選B.] 二、填空題 11．(2018惠州二模)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R，都有f＝f，函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，當(dāng)－≤x≤時(shí)，f(x)＝2x，則方程f(x)＝－在區(qū)間[－3,5]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為________． 4　[∵函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)， ∴函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱， ∴把函數(shù)f(x＋1)的圖象向右平移1個(gè)單位可得函數(shù)f(x)的圖象，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則f(2－x)＝－f(x)． 又∵f＝f，∴f(1－x)＝f(x)，從而f(2－x)＝－f(1－x)， ∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)． ∴函數(shù)f(x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示： ∴結(jié)合圖象可得f(x)＝－在區(qū)間[－3,5]內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為24＝4.] (教師備選) 已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐DABC，當(dāng)三棱錐DABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為________． 　[已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC折疊成三棱錐，如圖：AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC， 取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連接DE，OE， ∵當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面DCA⊥平面ACB， ∴OB＝OA＝OC＝OD，∴OB＝1，就是外接球的半徑為1， 此時(shí)三棱錐外接球的體積：13＝.] 12．(2018沈陽(yáng)二模)已知橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,3)，當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最大時(shí)，△APF的面積為________． 　[橢圓＋＝1中， a＝4，b＝，∴c＝3，由題意，設(shè)F′是左焦點(diǎn)，則△APF周長(zhǎng)＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|＝8＋6＋|PA|－|PF′|≤14＋|AF′|(A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，且P在AF′的延長(zhǎng)線上，取等號(hào))，此時(shí)kAP＝，∴∠AF′F＝， ∴∠FF′P＝，設(shè)|PF′|＝x，則|PF|＝8－x，由余弦定理得(8－x)2＝x2＋36－26xcos，∴x＝，所以△APF的面積S＝S△AF′F＋S△PF′F＝6＝.] 13．(2018安慶二模)銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C，sin(A－B)＝，sin C＝，AB＝6，則△ABC的面積為________． 12＋6　[∵sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A＝， sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， ∴sin Acos B＝，sin Bcos A＝， ∴sin2A(1－sin2B)＝，sin2B(1－sin2A)＝， ∴sin2Asin2B＝， sin2Asin2B＝，∴sin Asin B＝， S＝absin C＝sin C＝6(＋2)．]