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專題能力提升練 六 三角函數(shù)的概念、圖象與性質
(45分鐘 80分)
一、選擇題(每小題5分,共30分)
1.(2018漳州一模)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ<2π)的圖象向右平移π3個單位長度后,得到函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象,則下列是函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸方程的為 ( )
A.x=π6 B.x=π12 C.x=π3 D.x=0
【解析】選A.函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象的對稱軸方程為x=kπ2(k∈Z),故函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸方程為x=kπ2-π3 (k∈Z),當k=1時,x=π6,故選A.
2.動點A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉,其初始位置為A012,32,12秒旋轉一周. 則動點A的縱坐標y關于t(單位:秒)的函數(shù)解析式為 ( )
A.y=sinπ3t+π6 B.y=cosπ6t+π3
C.y=sinπ6t+π3 D.y=cosπ3t+π6
【解析】選C.因為動點初始位置為A012,32,所以t=0 時, y=32 ,可排除A,B;又因為動點12秒旋轉一周,所以函數(shù)周期為12 ,可排除D.
3.(2018唐山一模)已知函數(shù)f(x)=3sin2x+π3的最小正周期為T,則將函數(shù)f(x)的圖象向左平移T4個單位后,所得圖象對應的函數(shù)為 ( )
A.y=-3sin2x+π3 B.y=-3cos2x+π3
C.y=3sin2x+7π12 D.y=3cos2x+π3
【解析】選D.T=2π2=π,y=3sin2x+π4+π3=3sin2x+π2+π3 =3cos2x+π3,故選D.
4.將函數(shù)y=sin2x-π3圖象上的點Pπ4,t向左平移s(s>0) 個單位長度得到點P′,若P′位于函數(shù)y=sin 2x的圖象上,則 ( )
A.t=12,s的最小值為π6 B.t=32,s的最小值為π6
C.t=12,s的最小值為π3 D.t=32,s的最小值為π3
【解析】選A.由題意得,t=sin2π4-π3=12,當s最小時,P′所對應的點為π12,12,此時smin=π4-π12=π6,故選A.
【加固訓練】
已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6,其中ω>0.若f(x)≤fπ12對x∈R恒成立,則ω的最小值為 ( )
A.2 B.4 C.10 D.16
【解析】選B.由三角函數(shù)的性質可知,當x=π12時,ωx+π6=2kπ+π2,所以ω=24k+4(k∈Z),
取k=0 可得ω 的最小值為4.
5.(2018煙臺一模)若函數(shù)f(x)=4sin ωxsin2ωx2+π4+cos2ωx-1(ω>0)在-π3,2π3上是增函數(shù),則ω的取值范圍是 ( )
A.[0,1) B.34,+∞
C.[1,+∞) D.0,34
【解析】選D.因為f(x)=4sin ωxsin2ωx2+π4+cos 2ωx-1
=4sin ωx1-cosωx+π22+cos 2ωx-1
=2sin ωx(1+sin ωx)+cos 2ωx-1=2sin ωx,
所以-π2w,π2w是函數(shù)含原點的遞增區(qū)間,
又因為函數(shù)在-π3,2π3上是增函數(shù),
所以-π3,2π3?-π2w,π2w
即-π2ω≤-π3,π2ω≥2π3?w≤32,w≤34,
又w>0,
所以0
0),函數(shù)f(x)=mn+3,直線x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對稱軸,且|x1-x2|的最小值為π2.
(1)求ω的值.
(2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間.
(3)若f(α)=23,求sin4α+π6的值.
【解析】(1)已知向量m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-23sin ωx)(ω>0),所以函數(shù)f(x)=mn+3=2sin ωxcos ωx+sin ωx(-23sin ωx)+3
=sin 2ωx-23sin2ωx+3=sin 2ωx+3cos 2ωx=2sin2ωx+π3.
因為直線x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對稱軸,且|x1-x2|的最小值為π2,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π22=π,即2π2ω=π,得ω=1;
(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+π3,
令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z;
(3)由已知條件,得f(α)=2sin2α+π3=23,
所以sin2α+π3=13,cos22α+π3=89,
所以cos 22α+π3=79,
所以sin4α+π6=sin4α+2π3-π2
=-cos 22α+π3=-79.
11.已知函數(shù)f(x)=sin xcosx+π6,x∈R.
(1)將f(x)的圖象向右平移π6個單位,得到g(x)的圖象,求g(x)的單調遞增區(qū)間.
(2)若f(α)=-512,且0<α<π2,求sin 2α的值.
【解析】(1)f(x)=sin x32cosx-12sinx
=32sin xcos x-12sin2x=34sin 2x-1-cos2x4
=1232sin2x+12cos2x-14
=12sin2x+π6-14,
所以g(x)=12sin2x-π6-14,
所以-π2+2kπ<2x-π6<π2+2kπ
?-π6+kπ0)個單位長度,若所得圖象過點π3,12,則φ的最小值為 ( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
【解析】選C.移動后y=sin 2(x-φ)=sin(2x-2φ)經(jīng)過點π3,12,則sin2π3-2φ=12,解之得2π3-2φ=π6+2kπ或2π3-2φ=5π6+2kπ,k∈Z,
所以φ=π4-kπ或φ=-π12-kπ,k∈Z
因為φ>0,所以φ的最小值為π4.
【加固訓練】
已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)|φ|<π2,ω>0的圖象在y軸右側的第一個最高點為Pπ6,1,在原點右側與x軸的第一個交點為Q5π12,0,則fπ6的值為________.
【解析】f(x)=sin(ωx+φ),由題意得T4=5π12-π6,所以T=π,所以ω=2,將點Pπ6,1代入f(x)=sin(2x+φ),得sin2π6+φ=1,所以φ=π6+2kπ(k∈Z).
又|φ|<π2,所以φ=π6,即f(x)=sin2x+π6(x∈R),所以fπ6=sin2π6+π6=1.
答案:1
2.函數(shù)f(x)=Asinωx+π6(ω>0)的圖象與x軸正半軸交點的橫坐標構成一個公差為π2的等差數(shù)列,若要得到函數(shù)g(x)=Asin ωx的圖象,只要將f(x)的圖象
( )
A.向左平移π6個單位 B.向右平移π6個單位
C.向左平移π12個單位 D.向右平移π12個單位
【解析】選D.正弦函數(shù)圖象與x軸相鄰交點橫坐標相差為半個周期,即d=T2=πω,又因為d=π2,所以ω=2,則f(x)=Asinωx+π6=Asin2x+π12,所以只要將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π12個單位就能得到g(x)=sin ωx的圖象.
3.(2018濮陽一模) 先將函數(shù)f(x)=sin x的圖象上的各點向左平移π6個單位,再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω倍(其中ω∈N*),得到函數(shù)g(x)的圖象,若g(x)在區(qū)間π6,π4上單調遞增,則ω的最大值為__________.
【解題指南】當圖象是先平移再伸縮時,注意是x前的系數(shù)改變,與φ無關,函數(shù)在π6,π4上單調遞增,即先求ωx+π6的范圍,其是函數(shù)y=sin x單調遞增區(qū)間的子集,求出ω的范圍,確定最大值.
【解析】g(x)=sinωx+π6在區(qū)間π6,π4上單調遞增,
所以有π6ω+π6≥2kπ-π2,π4ω+π6≤2kπ+π2,即12k-4≤ω≤8k+43,k∈Z,
由12k-4≤8k+43可得k≤43,
當k=1時,ω∈8,283,所以正整數(shù)ω的最大值是9.
答案:9
4.如圖,M(xM,yM),N(xN,yN)分別是函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A>0)的圖象與兩條直線l1:y=m(A≥m≥0),l2:y=-m的兩個交點,|xM-xN|=________.
【解題指南】設出另外兩個交點和對稱軸,根據(jù)對稱性求解.
【解析】如圖所示,作曲線y=f(x)的對稱軸x=x1,x=x2,點M與點D關于直線x=x1對稱,點N與點C關于直線x=x2對稱,
所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2 ,所以xD=2x1-xM,xC=2x2-xN,又點M與點C,點D與點N都關于點B對稱,
所以xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB,
所以xM-xN=2(xB-x2)=-T2,
所以|xM-xN|=T2=π2.
答案:π2
5.已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.
(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f(α)的值.
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
【解析】(1)因為0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22,
所以f(α)=2222+22-12=12.
(2)因為f(x)=sin xcos x+cos2x-12
=12sin 2x+1+cos2x2-12
=12sin 2x+12cos 2x
=22sin2x+π4,
所以T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的單調遞增區(qū)間為kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
6.已知函數(shù)f(x)=sinωx+φω>0,0≤φ≤π2圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為π2,且在x=π8時取得最大值1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)當x∈0,98π時,若方程f(x)=a恰好有三個根,分別為x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范圍.
【解析】(1)T2=π2?T=π?2πω=π?ω=2,
所以sin2π8+φ=sinπ4+φ=1,
所以π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,
所以φ=2kπ+π4,k∈Z,
因為0≤φ≤π2,所以φ=π4,
所以f(x)=sin2x+π4.
(2)畫出該函數(shù)的圖象如圖,
當22≤a<1時,方程f(x)=a恰好有三個根,且點(x1,a)和(x2,a)關于直線x=π8對稱,點(x2,a)和(x3,a)關于直線x=5π8對稱,所以x1+x2=π4,π≤x3<9π8,所以5π4≤x1+x2+ x3<11π8.
7.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖象向右平移π2個單位長度.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程.
(2)已知關于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β.
①求實數(shù)m的取值范圍;
②證明:cos(α-β)=2m25-1.
【解析】(1)將g(x)=cos x的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2cos x的圖象,再將y=2cos x的圖象向右平移π2個單位長度后得到y(tǒng)=2cosx-π2的圖象,故f(x)=2sin x,
從而函數(shù)f(x)=2sin x圖象的對稱軸方程為x=kπ+π2(k∈Z).
(2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x
=525sinx+15cosx
=5sin(x+φ)其中sinφ=15,cosφ=25
依題意,sin(x+φ)=m5在區(qū)間[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β,當且僅當m5<1,故m的取值范圍是(-5,5).
② 因為α,β是方程5sin(x+φ)=m在區(qū)間[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解,所以sin(α+φ)=m5,sin(β+φ)=m5.
當1≤m<5時,α+β=2π2-φ,
即α+φ=π-(β+φ);
當-5
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