2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示 1.2.1 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版必修1.doc

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1.2.1　函數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)出函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)數(shù)學(xué)概念中的作用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．(重點(diǎn))3.能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)的概念 定義 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么對(duì)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 三要素 對(duì)應(yīng)關(guān)系 y＝f(x)，x∈A 定義域 自變量x的取值范圍 值域 與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A} 思考1：(1)有人認(rèn)為“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”，這種看法對(duì)嗎？ (2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？ [提示]　(1)這種看法不對(duì)． 符號(hào)y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對(duì)象；f是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖象、表格，也可以是文字描述；y是自變量的函數(shù)，當(dāng)x允許取某一具體值時(shí)，相應(yīng)的y值為與該自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不表示“y等于f與x的乘積”．在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)外，還常用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來(lái)表示函數(shù)． (2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f(8)＝38＋4＝28是一個(gè)常數(shù)． 2．區(qū)間及有關(guān)概念 (1)一般區(qū)間的表示 設(shè)a，b∈R，且a0得x>－1. 所以函數(shù)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．] 3．若f(x)＝，則f(3)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102085】 －　[f(3)＝＝－.] 4．集合{x|x≤－2}用區(qū)間可表示為_(kāi)_______． (－∞，－2]　[{x|x≤－2}表示小于等于－2的數(shù)組成的集合，即用區(qū)間表示為(－∞，－2]．] [合 作 探 究攻 重 難] 函數(shù)的概念 　(1)判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)． ①A＝N，B＝N*，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng)； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng)． (2)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是(　　) ①f(x)＝與g(x)＝x； ②f(x)＝x與g(x)＝； ③f(x)＝x0與g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1. A．①②　　　　　　　 B．①③ C．③④ D．①④ [解]　(1)①對(duì)于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)． ②對(duì)于A中的元素1，在f的作用下與B中的1對(duì)應(yīng)，A中的元素2，在f的作用下與B中的4對(duì)應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對(duì)應(yīng)，是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，故是函數(shù)． ③對(duì)于A中的任一元素，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，如1對(duì)應(yīng)1，2對(duì)應(yīng)4，所以是函數(shù)． ④集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)． (2)C　[①f(x)＝＝|x|與y＝x的對(duì)應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)． ②g(x)＝＝|x|與f(x)＝x的對(duì)應(yīng)法則和值域不同，故不是同一函數(shù)． ③f(x)＝x0與g(x)＝都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一函數(shù)． ④f(x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對(duì)應(yīng)法則也相同，而與用什么字母表示無(wú)關(guān)，故是同一函數(shù)． 由上可知是同一函數(shù)的是③④. 故選C.] [規(guī)律方法]　判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件 (1)A，B必須是非空數(shù)集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).,對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系 [跟蹤訓(xùn)練] 1．下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102086】 A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D B　[根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)照選項(xiàng)，可知只有B不符合此條件．故選B.] 求函數(shù)值 　設(shè)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))． (2)求g(f(x))． 思路探究：(1)直接把變量的取值代入相應(yīng)函數(shù)解析式，求值即可； (2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))． [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝2x2＋2， 所以f(2)＝222＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因?yàn)間(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)． g(f(2))＝g(10)＝＝. (2)g(f(x))＝＝＝. [規(guī)律方法]　 函數(shù)求值的方法 (1)已知f(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值. (2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102087】 [解]　f(1)＝13＋21＋3＝6； f(t)＝t3＋2t＋3； f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a； f(f(－1))＝f((－1)3＋2(－1)＋3)＝f(0)＝3. 求函數(shù)的定義域 [探究問(wèn)題] 1．已知函數(shù)的解析式，求其定義域時(shí)，能否可以對(duì)其先化簡(jiǎn)再求定義域？ 提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化簡(jiǎn)，則f(x)＝，從而定義域與原函數(shù)不等價(jià)． 2．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，那么函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是什么？ 提示：函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－1，＋∞)． 3．若函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[1,2]，這里的“[1,2]”是指誰(shuí)的取值范圍？函數(shù)y＝f(x)的定義域是什么？ 提示：[1,2]是自變量x的取值范圍． 函數(shù)y＝f(x)的定義域是x＋1的范圍[2,3]． 　求下列函數(shù)的定義域 (1)f(x)＝2＋； (2)f(x)＝(x－1)0＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝－. 思路探究：要求函數(shù)的定義域，只需分母不為0，偶次方根中被開(kāi)方數(shù)大于等于0即可． [解]　(1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時(shí)， 函數(shù)y＝2＋有意義， 所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2}． (2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng) 解得x>－1且x≠1， 所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－1且x≠1}． (3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1≤x≤3， 所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}． (4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤1且x≠－1， 即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠－1}． 母題探究：1.(變結(jié)論)在本例(3)條件不變的前提下，求函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域． [解]　由1≤x＋1≤3得0≤x≤2. 所以函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域?yàn)閇0,2]． 2．(變化論)在本例(3)條件不變的前題下，求函數(shù)y＝f(x＋1)＋的定義域． [解]　由，得1≤x≤2. ∴函數(shù)的定義域?yàn)閇1,2]． [規(guī)律方法]　求函數(shù)定義域的常用方法 (1)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零. (2)若f(x)是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零. (3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合. (4)若f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集. (5)若f(x)是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知函數(shù)f(x)＝，則f＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．a(chǎn) D．3a D　[f＝3a，故選D.] 2．下列表示的是y關(guān)于x的函數(shù)的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102088】 A．y＝x2 B．y2＝x C．|y|＝x D．|y|＝|x| A　[結(jié)合函數(shù)的定義可知A正確，選A.] 3．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相等的是(　　) A．y＝()2 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ D　[函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽；y＝()2的定義域?yàn)閇0，＋∞)；y＝＝|x|，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；y＝|x|對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；y＝＝x，且定義域?yàn)镽.故選D.] 4．將函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為_(kāi)_______． (－∞，0)∪(0,1]　[由 解得x≤1且x≠0， 用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0,1]．] 5．已知函數(shù)f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定義域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)當(dāng)a≠－1時(shí)，求f(a＋1)的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102089】 [解]　(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0， ∴f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝. (3)當(dāng)a≠－1時(shí)，a＋1≠0， ∴f(a＋1)＝a＋1＋.