新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 【第6章】課時限時檢測37

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 課時限時檢測(三十七)　基本不等式 (時間：60分鐘　滿分：80分)命題報告 考查知識點及角度 題號及難度 基礎(chǔ) 中檔 稍難 求最值 1,3,7 4,10 證明不等式 2 11 解決實際問題 8 6 綜合應(yīng)用 5,12 9 一、選擇題(每小題5分，共30分) 1．若函數(shù)f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【解析】　∵x＞2，∴x－2＞0， ∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x＞2)，即x＝3時等號成

2、立， ∴a＝3. 【答案】　C 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正確的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　①②不正確，③正確，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1. 【答案】　B 3．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 【解析】　∵2x＋2y≥2，2x＋2y＝1， ∴2≤1， ∴2x＋y≤＝2－2， ∴x＋y≤－2， 即(x＋y)∈(－∞，－2]． 【答案】　D 4．(2014·威海

3、期中)已知正數(shù)x，y滿足x＋2y－xy＝0，則x＋2y的最小值為(　　) A．8 B．4 C．2 D．0 【解析】　因為2≥2xy，x＋2y＝xy≤，又x，y都是正數(shù)，解得x＋2y≥8. 【答案】　A 5．(2012·湖北高考)設(shè)a，b，c均大于0，則“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　) A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要的條件 【解析】?。?， 當(dāng)abc＝1時， ∴≤[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時“＝”成立． 故abc＝1?＋＋≤a＋

4、b＋c. 反過來，取a＝b＝1，c＝4有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1， ∴“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要條件． 【答案】　A 6．(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a＝0，∴v>a. 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共15分) 7．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________． 【解析】　依題意a＋b＝1，且a

5、＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立， 故＋的最小值為4. 【答案】　4 8．某公司一年需購買某種貨物200噸，平均分成若干次進(jìn)行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是________． 【解析】　設(shè)每次購買該種貨物x噸，則需要購買次，則一年的總運費為×2＝，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為＋x≥2＝40，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應(yīng)購買該種貨物20噸．

6、 【答案】　20 9．(2013·天津高考)設(shè)a＋b＝2，b＞0，則＋的最小值為________． 【解析】　當(dāng)a＞0時，＋＝＋＝＋＝＋≥； 當(dāng)a＜0時，＋＝＋＝＋＝－＋≥－＋1＝. 綜上所述，＋的最小值是. 【答案】　 三、解答題(本大題共3小題，共35分) 10．(10分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 【解】 　∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y且2x＋8y－xy＝0，即y＝4，x＝16時“＝”成立． 故xy的最小值為64.

7、 (2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋8＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)＝且2x＋8y－xy＝0，即y＝4，x＝16時“＝”成立． 故x＋y的最小值為18. 11．(12分)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8；(2)≥9. 【證明】　(1)＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立)． (2)法一　∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成

8、立)． 法二?。?＋＋＋， 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9. 12．(13分)(2014·淄博一中期中)如圖6－4－2，為處理含有某種雜 圖6－4－2 質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體的沉淀箱．污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)． 【解】 　法一　設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)， 則y＝，其中k為比例系數(shù)，且k＞0，依題意，即所求的a，b值使y最小．據(jù)題

9、意有：4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，∴b＝(0＜a＜30)． ∴ab＝a×＝＝－a＋32－. ＝34－≤34－2＝18. 當(dāng)a＋2＝時取等號，y達(dá)到最小值． 此時解得a＝6，b＝3. 答：當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。? 法二　設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)分?jǐn)?shù)，則y＝，其中k為比例系數(shù)，且k＞0，依題意，即所求的a，b值使y最小．據(jù)題意有：4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 即2b＋ab＋a＝30，∵a＋2b≥2，∴30－ab＝a＋2b≥2.∴ab＋2－30≤0. ∵(a＞0，b＞0)，∴0＜ab≤18，當(dāng)a＝2b時取等號，ab達(dá)到最大值18.此時解得a＝6，b＝3. 答：當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。?