新編文科數(shù)學(xué)北師大版練習(xí):第三章 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

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1、 課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1.下列函數(shù)中,最小正周期為π且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是(  ) A.y=cos   B.y=sin C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 解析:y=cos=-sin 2x,最小正周期T==π,且為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故A正確;y=sin=cos 2x,最小正周期為π,且為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,故B不正確;C,D均為非奇非偶函數(shù),其圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故C,D不正確. 答案:A 2.已知函數(shù)y=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上為增函數(shù),且圖像關(guān)于點(diǎn)(3π,0)對(duì)稱,則ω的取值集合為(  )

2、 A. B. C. D. 解析:由題意知即其中k∈Z,則ω=,ω=或ω=1,即ω的取值集合為. 答案:A 3.(20xx·長春調(diào)研)函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)2圖像的一條對(duì)稱軸方程是(  ) A.x= B.x= C.x= D.x=π 解析:f(x)=(sin x+cos x)2=sin2x+cos2x+2sin xcos x=1+sin 2x,將各選項(xiàng)代入驗(yàn)證可知,當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最值,故選A. 答案:A 4.函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D(k∈Z) 解析:由kπ-<2x

3、-

4、,π] 解析:f(x)=cos2-sin x-=(2cos2-1)-sin x=cos x-sin x=cos(x+),由2kπ-π≤x+≤2kπ(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ-(k∈Z),又x∈[0,π],所以當(dāng)k=1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[,π],故選C. 答案:C 7.函數(shù)y=(sin x+cos x)2-1是(  ) A.最小正周期為2π的奇函數(shù) B.最小正周期為2π的偶函數(shù) C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù) 解析:y=sin2x+2sin xcos x+cos2x-1=sin 2x,故選C. 答案:C 8.函數(shù)f(x)=2sin(ω

5、x+φ)(ω>0)對(duì)任意x都有f=f,則f等于(  ) A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ωx+φ)對(duì)任意x都有f=f,所以該函數(shù)圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,因?yàn)樵趯?duì)稱軸處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值或最小值,所以選B. 答案:B 9.已知函數(shù)f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在(0,π)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)ω 的取值范圍為(  ) A.(0,] B.(,] C.(,] D.(,] 解析:易得f(x)=2sin(ωx-),設(shè)t=ωx-,因?yàn)?<x<π,所以-<t<ωπ-,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,π)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

6、所以π<ωπ-≤2π,解得<ω≤,故選B. 答案:B 10.(20xx·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示,其中圖像最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和,圖像在y軸上的截距為,給出下列四個(gè)結(jié)論: ①f(x)的最小正周期為π;②f(x)的最大值為2; ③f=1;④f為奇函數(shù). 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由圖知,周期T=2=π, 則ω=2,由2×+φ=,得φ=. 由f(0)=,得Asin=,即A=2. 所以f(x)=2sin, 則f=2sin=2cos=1, f=2sin

7、=2sin 2x為奇函數(shù).所以四個(gè)結(jié)論都正確. 答案:D 11.已知x∈(0,π],關(guān)于x的方程2sin=a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________. 解析: 令y1=2sin,x∈(0,π],y2=a,作出y1的圖像如圖所示.若2sin=a在(0,π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則y1與y2應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以

8、in x-cos x(0≤x<2π)取得最大值時(shí),x=________. 解析:由已知條件可得y=2sin,又由0≤x<2π得-≤x-<,當(dāng)x-=時(shí)y取得最大值,此時(shí)x=. 答案: B組——能力提升練 1.函數(shù)y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖像是(  ) 解析:y=tan x+sin x-|tan x-sin x|=對(duì)比選項(xiàng),可知選D. 答案:D 2.已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f=-2,則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是(  ) A. B. C. D. 解析:∵f=-2,∴-2sin=-2,即sin=

9、1.∴+φ=+2kπ,又∵|φ|<π,∴φ=,∴f(x)=-2sin.由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.當(dāng)k=0時(shí),得≤x≤.即f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是. 答案:D 3.若函數(shù)y=tan ωx(ω∈N*)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是,則ω的最小值是(  ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:因?yàn)檎泻瘮?shù)f(x)=tan x圖像的對(duì)稱中心為(k∈Z),且函數(shù)y=tan ωx(ω∈N*)的一個(gè)對(duì)稱中心是,所以=(k∈Z),因此ω=3k(k∈Z).因?yàn)棣亍蔔*,所以當(dāng)k=1時(shí),ω取得最小值3,故選B. 答案:B 4.已知函數(shù)f(x)=Asin

10、(ωx +φ)(A>0,ω>0)的圖像與直線y=b(00,ω>0)的圖像可知f(x)在區(qū)間[6k-3,6k],k∈Z上是單調(diào)遞減的,故選B. 答案:B 5.若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,且該函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)(x

11、0,0)成中心對(duì)稱,x0∈,則x0=(  ) A.    B. C.    D. 解析:由題意得=,T=π,則ω=2.由2x0+=kπ(k∈Z),得x0=-(k∈Z),又x0∈,所以x0=. 答案:A 6.已知函數(shù)f(x)=cos2+sinωx-(ω>0),x∈R,若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點(diǎn),則ω 的取值范圍是(  ) A.(0,] B.(0,]∪[,) C.(0,] D.(0,]∪[,] 解析:函數(shù)f(x)=cos2+sin ωx-=cosωx+sinωx=sin(ωx+),可得T=≥π,0<ω≤2,f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點(diǎn),函數(shù)的圖像如圖兩種類型

12、,結(jié)合三角函數(shù)可得: 或, 解得ω∈(0,]∪[,). 答案:B 7.已知函數(shù)f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖像的對(duì)稱軸完全相同,若x∈,則f(x)的取值范圍是(  ) A. B.[-3,3] C. D. 解析:因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸完全相同,所以這兩個(gè)函數(shù)的周期相同,即ω=2,所以函數(shù)f(x)=3sin(2x-).當(dāng)x∈[0,]時(shí),2x-∈[-,],由正弦函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知, f(x)min=f(0)=-,f(x)max=f()=3,故選A. 答案:A 8.(20xx·長沙市模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)-cos(x+

13、),若存在x1,x2,…,xn滿足0≤x1<x2<…<xn≤6π,且|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=12(n≥2,n∈N*),則n的最小值為(  ) A.6 B.10 C.8 D.12 解析:f(x)=sin(x+)-cos(x+)=sin(x+-)=sin x,所以|f(xn-1)-f(xn)|≤2,又|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=12(n≥2,n∈N*),所以要使n取最小值,需x1=0,x2=,x3=,x4=,…,x7=,x8=6π.故滿足條件的最小整數(shù)n為8

14、. 答案:C 9.設(shè)函數(shù)f(x)=(x∈R),則f(x)(  ) A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是增函數(shù) C.在區(qū)間上是增函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù) 解析:由f(x)=可知,f(x)的最小正周期為π.由kπ≤x+≤+kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞增;由+kπ≤x+≤π+kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞減.將各選項(xiàng)逐項(xiàng)代入驗(yàn)證,可知B正確. 答案:B 10.若函數(shù)f(x)同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì):①f(x)是偶函數(shù);②對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f=f.則f(x)的解析式可以是(  ) A.

15、f(x)=cos x B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=cos 6x 解析:由題意可得,函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且它的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱.因?yàn)閒(x)=cos x是偶函數(shù),f=,不是最值,故不滿足圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,故排除A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos=-sin 2x是奇函數(shù),不滿足條件①,故排除B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin=cos 4x是偶函數(shù),且f=-1,是最小值,故滿足圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,故C滿足條件.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos 6x是偶函數(shù),f=0,不是最值,故不滿足圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,故排除D. 答案:C 11.已知f(x)=sin(ωx+φ)圖

16、像相鄰對(duì)稱軸間的距離為,f(0)=,則g(x)=2cos(ωx+φ)在區(qū)間上的最小值為(  ) A.- B.-2 C.-1 D.1 解析:由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期為π,則ω=2,由f(0)=,可得φ=,所以g(x)=2cos(ωx+φ)即為g(x)=2cos.因?yàn)閤∈,所以2x+∈,得-1≤cos≤,則g(x)在區(qū)間上的最小值為-2. 答案:B 12.已知函數(shù)f(x)=2cos22x-2.給出下列命題:①存在β∈R,f(x+β)為奇函數(shù);②存在α∈(0,),f(x)=f(x+2α)對(duì)x∈R恒成立;③任意x1,x2∈R,若|f(x1)-f(x2)|=2,則|x1-x2|的最

17、小值為;④任意x1,x2∈R,若f(x1)=f(x2)=0,則x1-x2=kπ(k∈Z).其中的真命題有(  ) A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 解析:由題意,f(x)=2cos22x-2=cos 4x-1.對(duì)于①,f(x)=cos 4x-1的圖像如圖所示,函數(shù)f(x+β)的圖像是f(x)的圖像向左或向右平移|β|個(gè)單位長度得到的,它不會(huì)是奇函數(shù),故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,f(x)=f(x+2α),所以cos 4x-1=cos(4x+8α)-1,所以8α=2kπ,k∈Z,所以α=,k∈Z.又α∈(0,),所以取α=或時(shí),f(x)=f(x+2α)對(duì)x∈R恒成立,故②正確;對(duì)于③,|f(

18、x1)-f(x2)|=|cos 4x1-cos 4x2|=2時(shí),|x1-x2|的最小值為==,所以③正確;對(duì)于④,任意x1,x2∈R,當(dāng)f(x1)=f(x2)=0時(shí),x1-x2=kT=k·=,k∈Z,所以④錯(cuò)誤.綜上,真命題是②③,故選C. 答案:C 13.函數(shù)y=tan的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是__________. 解析:由2x+=kπ(k∈Z)得,x=-(k∈Z).∴函數(shù)y=tan的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是,k∈Z. 答案:,k∈Z 14.設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周

19、期為__________. 解析:由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=-f知,f(x)有對(duì)稱中心,由f=f知f(x)有對(duì)稱軸x==π. 記f(x)的最小正周期為T,則T≥-, 即T≥π.故π-==, 解得T=π. 答案:π 15.已知函數(shù):①f(x)=2sin(2x+);②f(x)=2sin(2x-);③f(x)=2sin(x+);④f(x)=2sin (2x-).其中,最小正周期為π且圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱的函數(shù)序號(hào)是________. 解析:對(duì)于①,其最小正周期T==π,其圖像的對(duì)稱軸為2x+=kπ+(k∈Z),即x=+(k∈Z),顯然x=不是函數(shù)f(x)=2sin(2x+)圖像的對(duì)稱軸,①錯(cuò)誤;對(duì)于②,其最小正周期T==π,其圖像的對(duì)稱軸為2x-=kπ+(k∈Z),即x=+(k∈Z),顯然x=是函數(shù)f(x)=2sin(2x-)圖像的對(duì)稱軸,②正確;對(duì)于③,其最小正周期T==4π,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,其最小正周期T==π,其圖像的對(duì)稱軸為2x-=kπ+(k∈Z),即x=+(k∈Z),顯然x=不是函數(shù)f(x)=2sin(2x-)圖像的對(duì)稱軸,④錯(cuò)誤. 答案:②

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