2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3.2 古典概型學(xué)案 蘇教版必修3.doc

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3.2　古典概型 內(nèi)容要求　1.了解基本事件的特點(難點)；2.理解古典概型的定義(重點)；3.會應(yīng)用古典概型的概率公式解決實際問題(重點). 知識點一　基本事件 1.基本事件的定義 在1次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果稱為基本事件.它們是試驗中不能再分的最簡單的隨機(jī)事件. 一次試驗中只能出現(xiàn)一個基本事件. 如在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，出現(xiàn)“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”，共6個結(jié)果，這就是這一隨機(jī)試驗的6個基本事件. 2.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 如在擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，隨機(jī)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”可以由基本事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”共同組成. 【預(yù)習(xí)評價】 “拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”是基本事件嗎？ 提示　不是.“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，兩枚正面向上，所以不是基本事件. 知識點二　古典概型 1.古典概型的定義 如果一個隨機(jī)試驗滿足： (1)所有的基本事件只有有限個. (2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的，那么，我們將這個隨機(jī)試驗的概率模型稱為古典概型. 2.古典概型的概率公式 對于任何事件A，P(A)＝. 【預(yù)習(xí)評價】　(正確的打“√”，錯誤的打“”) 1.任意事件都可以表示成基本事件的和.(　　) 2.古典概型的基本事件的個數(shù)是有限的.(　　) 3.有放回抽樣與無放回抽樣，對于概率計算是沒有區(qū)別的.(　　) 答案　1.√　2.√　3. 題型一　基本事件的理解 【例1】　寫出下列試驗的所有基本事件. (1)先后擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣； (2)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)； (3)從集合A＝{a，b，c，d}中任取兩個元素構(gòu)成A的子集. 解　(1)正面、正面；正面、反面；反面、正面；反面、反面. (2)0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，3環(huán)，4環(huán)，5環(huán)，6環(huán)，7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán). (3){a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}. 規(guī)律方法　1.求基本事件的基本方法是列舉法. 基本事件具有以下特點：(1)不可能再分為更小的隨機(jī)事件；(2)兩個基本事件不可能同時發(fā)生. 2.當(dāng)基本事件個數(shù)較多時還可應(yīng)用列表法或樹形圖法求解. 【訓(xùn)練1】　從A，B，C，D，E，F(xiàn) 6名學(xué)生中選出4名參加數(shù)學(xué)競賽. (1)寫出這個試驗的所有基本事件； (2)求這個試驗的基本事件總數(shù)； (3)寫出試驗“A沒被選中”所包含的基本事件. 解　(1)這個試驗的所有基本事件如下： (A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F(xiàn))，(A，C，D，E)，(A，C，D，F(xiàn))，(A，B，D，E)，(A，B，D，F(xiàn))，(A，B，E，F(xiàn))，(A，C，E，F(xiàn))，(A，D，E，F(xiàn))，(B，C，D，E)，(B，C，D，F(xiàn))，(B，C，E，F(xiàn))，(B，D，E，F(xiàn))，(C，D，E，F(xiàn)). (2)從6名學(xué)生中選出4名參加數(shù)學(xué)競賽，共有15種可能情況，即基本事件的總數(shù)為15. (3)“A沒被選中”包含下列5個基本事件：(B，C，D，E)，(B，C，D，F(xiàn))，(B，C，E，F(xiàn))，(B，D，E，F(xiàn))，(C，D，E，F(xiàn)). 題型二　古典概型的理解 【例2】　(1)向一個圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個點，如果該點落在圓面內(nèi)任意一點都是等可能的，你認(rèn)為該試驗是古典概型嗎？為什么？ (2)射擊運(yùn)動員向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中).你認(rèn)為該試驗是古典概型嗎？為什么？ 解　判斷試驗是否滿足古典概型的兩個特點. (1)試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)的所有點.試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，不滿足古典概型試驗結(jié)果的有限性.因此，雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，但是這個試驗仍不是古典概型. (2)試驗的所有可能結(jié)果只有11個，但是命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中)不是等可能的.因此，這個試驗也不是古典概型. 規(guī)律方法　一個試驗是否是古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點，即有限性和等可能性，因而并不是所有的試驗都是古典概型. 【訓(xùn)練2】　判斷下列事件是否為古典概型. (1)在適宜的條件下種下一粒種子，求它發(fā)芽的概率； (2)向上拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，求出現(xiàn)正面朝上的概率. 解　(1)基本事件包括“發(fā)芽”“不發(fā)芽”，而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果的可能性一般是不均等的，不符合古典概型的第二個特點，即每一個基本事件的“等可能性”，所以這個試驗不是古典概型. (2)由于硬幣的質(zhì)地不均勻，則出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”的可能性不相等，不符合古典概型的第二個特點，即每一個基本事件的“等可能性”，所以這個試驗不是古典概型. 探究1　列舉法(或列表法) 【例3－1】　一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5個球，其中3個白球，2個黑球，從中一次摸出2個球. (1)共有多少個基本事件？ (2)2個都是白球包含幾個基本事件？ (3)求2個都是白球的概率. 解　法一　(1)采用列舉法. 分別記白球為1,2,3號，黑球為4,5號，則有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(其中(1,2)表示摸到1號、2號). (2)“2個都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三個基本事件. (3)所求概率為P(A)＝. 法二　(1)采用列表法. 設(shè)5個球的編號為a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球. 列表如下： a b c d e a (a，b) (a，c) (a，d) (a，e) b (b，a) (b，c) (b，d) (b，e) c (c，a) (c，b) (c，d) (c，e) d (d，a) (d，b) (d，c) (d，e) e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d) 由于每次取2個球，因此每次所得的2個球不相同，而事件(b，a)與(a，b)是相同的事件，故共有10個基本事件. (2)“2個都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三個基本事件. (3)所求概率為P(A)＝. 探究2　坐標(biāo)法 【例3－2】　拋擲兩枚骰子，求： (1)點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率； (2)點數(shù)之和大于5小于10的概率. 解　如圖，基本事件與所描點一一對應(yīng)，共36種. (1)記“點數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共有9個，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6). 所以P(A)＝. (2)記“點數(shù)之和大于5小于10”的事件為B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件共有20個，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以P(B)＝. 探究3　樹形圖法 【例3－3】　有A、B、C、D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a、b、c、d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就坐時， (1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率； (2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率； (3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率. 解　將A、B、C、D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來： 如圖所示，本題中的等可能基本事件共有24個. (1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事件A只包含1個基本事件，所以P(A)＝. (2)設(shè)事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”，則事件B包含9個基本事件，所以P(B)＝＝. (3)設(shè)事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”，則事件C包含8個基本事件，所以P(C)＝＝. 探究4　涂色問題 【例3－4】　用三種不同的顏色給如圖所示的3個矩形隨機(jī)涂色，每個矩形只涂一種顏色. (1)求3個矩形顏色都相同的概率； (2)求3個矩形顏色都不相同的概率； (3)求3個矩形顏色不都相同的概率. 解　設(shè)3個矩形從左到右依次為矩形1、矩形2、矩形3.用三種不同的顏色給題目中所示的3個矩形隨機(jī)涂色，可能的結(jié)果如圖所示. 由圖知基本事件共有27個. (1)記“3個矩形顏色都相同”為事件A，由圖知事件A的基本事件有3個，故P(A)＝＝. (2)記“3個矩形顏色都不相同”為事件B，由圖知事件B的基本事件有6個，故P(B)＝＝. (3)記“3個矩形顏色不都相同”為事件C. 由圖，知事件C的基本事件有24個， 故P(C)＝＝. 規(guī)律方法　1.古典概型概率求法步驟： (1)確定等可能基本事件總數(shù)n； (2)確定所求事件包含基本事件數(shù)m； (3)P(A)＝. 2.使用古典概型概率公式應(yīng)注意：(1)首先確定是否為古典概型；(2)A事件是什么，包含的基本事件有哪些. 3.當(dāng)事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的基本事件又不是太多時，我們可借助樹形圖法直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法.樹形圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的基本事件，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況. 4.在求概率時，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體基本事件用平面直角坐標(biāo)系中的點表示，即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出基本事件的個數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來方便. 課堂達(dá)標(biāo) 1.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b.則b＞a的概率是________. 解析　基本事件總數(shù)為15個，滿足“b＞a”的基本事件數(shù)為3個，所以P(b＞a)＝. 答案　 2.從三男三女6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于________. 解析　設(shè)3名男生分別用A，B，C表示，3名女生分別用a，b，c表示，則從中任選2名學(xué)生，則有AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15種選擇.其中2名都是女同學(xué)的有ab，ac，bc，共3種，所以2名都是女同學(xué)的概率為＝. 答案　 3.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________. 解析　從正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)中任取兩數(shù)的所有可能結(jié)果有X1Y1，X1Y2，X1Y3，…，X7Y9，共63個.其中m，n都取奇數(shù)的結(jié)果有X1Y1，X1Y3，X1Y5，…，X7Y9，共20個，故所求的概率為P＝. 答案　 4.如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為________. 解析　從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5這一組數(shù)，故3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為. 答案　 5.先后拋擲3枚相同的硬幣各一次，觀察落地后這3枚硬幣朝上的一面是正面還是反面. (1)一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果？ (2)出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的結(jié)果有多少種？ (3)出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？ 解　(1)因為拋第1枚硬幣時，出現(xiàn)正面和反面2種結(jié)果，拋第2枚硬幣時，又出現(xiàn)正面和反面2種結(jié)果，拋第3枚硬幣時，又出現(xiàn)正面和反面2種結(jié)果，所以可能出現(xiàn)的結(jié)果為(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，其8種. (2)由(1)可知出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的結(jié)果有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3種. (3)因為每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性均相等，所以為古典概型.由(1)(2)可知等可能基本事件的總數(shù)為8，而出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的基本事件有3個，故出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的概率為. 課堂小結(jié) 1.古典概型是一種最基本的概率模型.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)＝時，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m、n. 2.求某個隨機(jī)事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹形圖和列表)，注意做到不重不漏. 基礎(chǔ)過關(guān) 1.從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是________. 解析　從1,2,3,6中隨機(jī)取2個數(shù)，共有6種不同的取法，其中所取2個數(shù)的乘積是6的有1,6和2,3，共2種，故所求概率是＝. 答案　 2.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球.從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________. 解析　從4只球中一次隨機(jī)摸出2只球，有6種結(jié)果，其中這2只球顏色相同有1種結(jié)果，則顏色不同有5種結(jié)果，故所求概率為. 答案　 3.在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________. 解析　設(shè)3張獎券中一等獎、二等獎和無獎分別為a，b，c，甲、乙兩人各抽取1張的所有情況有ab，ac，ba，bc，ca，cb，共6種，其中兩人都中獎的情況有ab，ba，共2種，所以所求概率為. 答案　 4.從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同字母，則取到字母a的概率為________. 解析　從a，b，c，d，e中任取兩個不同字母的所有基本事件為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個，其中取到字母a的有4個，故所求概率為＝0.4. 答案　0.4 5.從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為________. 解析　5個點中任取2個點共有10種方法，若2個點之間的距離小于邊長，則這2個點中必須有1個為中心點，有4種方法，于是所求概率P＝＝. 答案　 6.用一臺自動機(jī)床加工一批螺母，從中抽出100個逐個進(jìn)行直徑檢驗，結(jié)果如下： 直徑 個數(shù) 直徑 個數(shù) 6.886.96)的概率； (4)事件D(d≤6.89)的概率. 解　(1)事件A的概率P(A)＝＝0.43. (2)事件B的概率 P(B)＝＝0.93. (3)事件C的概率P(C)＝＝0.04. (4)事件D的概率P(D)＝＝0.01. 7.從1,2,3,4,5這5個數(shù)字中任取三個不同的數(shù)字，求下列事件的概率： (1)事件A＝{三個數(shù)字中不含1和5 }； (2)事件B＝{三個數(shù)字中含1或5}. 解　這個試驗的基本事件為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件總數(shù)n＝10. (1)因為事件A＝{(2,3,4)}， 所以事件A包含的事件數(shù)m＝1. 所以P(A)＝＝. (2)因為事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}， 所以事件B包含的基本事件數(shù)m＝9. 所以P(B)＝＝. 能力提升 8.一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球，則摸出2個黑球的概率為________. 解析　運(yùn)用集合中的Venn圖直觀分析. 如圖所示，所有結(jié)果組成集合U，含有6個元素，故共有6種不同的結(jié)果. U的子集A有3個元素，故摸出2個黑球有3種不同的結(jié)果. 因此，摸出2個黑球的概率是P＝＝. 答案　 9.一次擲兩枚骰子，得到的點數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有實數(shù)根的概率是________. 解析　基本事件共有36個.因為方程有實根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0，所以m＋n≥4，則方程如無實數(shù)根有m＋n＜4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個基本事件. 所以所求概率為1－＝. 答案　 10.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為________. 解析　首先要弄清楚“心有靈犀”的實質(zhì)是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，則滿足要求的事件可能的結(jié)果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16種，而依題意得基本事件的總數(shù)有36種.因此他們“心有靈犀”的概率為P＝＝. 答案　 11.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍_始由甲發(fā)球，傳球三次后球又回到甲手中的概率是________. 解析　畫出“樹形圖”如圖所示，由圖知，基本事件共有8個，其中球又回到甲手中的有2個，所求概率為P＝＝. 答案　 12.某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表： 一年級 二年級 三年級 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同). (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率. 解　(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種. (2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種. 因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝＝. 13.(選做題)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人) 參加書法社團(tuán) 未參加書法社團(tuán) 參加演講社團(tuán) 8 5 未參加演講社團(tuán) 2 30 (1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率； (2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率. 解　(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，故至少參加上述一個社團(tuán)的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率為P＝＝. (2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其所有結(jié)果組成的基本事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15個. 根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)機(jī)會是等可能的. 事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有(A1，B2)，(A1，B3)，共2個. 因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝.