2018年秋高中數(shù)學(xué) 專題強化訓(xùn)練1 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修2-2.doc
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專題強化訓(xùn)練(一) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (建議用時:45分鐘) [基礎(chǔ)達標練] 一、選擇題 1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是( ) A.在點x=x0處的函數(shù)值 B.在點(x0,f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值 C.曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率 D.點(x0,f(x0))與點(0,0)連線的斜率 [答案] C 2.曲線y=xex-1在點(1,1)處切線的斜率等于( ) 【導(dǎo)學(xué)號:31062111】 A.2e B.e C.2 D.1 C [y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,故曲線在點(1,1)處的切線斜率為y′=2.] 3.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是( ) A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 C [f′(x)=3x2-3.令f′(x)=0,即3x2-3=0,解得x=1.當x∈(-∞,-1)時,f′(x)>0;當x∈(-1,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在x=-1處取得極大值,f(x)極大值=3,在x=1處取得極小值,f(x)極小值=-1.而端點處的函數(shù)值f(-3)=-17,f(0)=1,比較可得f(x)的最大值為3,最小值為-17.] 4.已知函數(shù)y=x-ln(1+x2),則y的極值情況是( ) A.有極小值 B.有極大值 C.既有極大值又有極小值 D.無極值 D [∵y′=1-=≥0,且僅在有限個點上等號成立,∴函數(shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù),故其不存在極值.] 5.設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上可導(dǎo),且f′(x)>g′(x),則當a<x<b時,有( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) C [∵f′(x)-g′(x)>0, ∴(f(x)-g(x))′>0, ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函數(shù), ∴當a<x<b時f(x)-g(x)>f(a)-g(a), ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).] 二、填空題 6.若函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處有極值-2,則ab=________. [解析] 由題意可知即∴a=1,b=-3,即ab=-3. [答案] -3 7.函數(shù)y=x3-ax2+x-2a在R上不是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是________. [解析] y′=x2-2ax+1有兩個不相等零點,得Δ=(-2a)2-4>0,得a2>1,解得a<-1或a>1. [答案] (-∞,-1)∪(1,+∞) 8.直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0)的一條切線,則實數(shù)b=________. 【導(dǎo)學(xué)號:31062112】 [解析] 設(shè)切點坐標為(x0,y0),則y0=ln x0. ∵y′=(ln x)′=,∴y′|x=x0=,由題意知=, ∴x0=2,y0=ln 2. 由ln 2=2+b,得b=ln 2-1. [答案] ln 2-1 三、解答題 9.某廠生產(chǎn)某種電子元件,如果生產(chǎn)出一件正品,可獲利200元,如果生產(chǎn)出一件次品,則損失100元.已知該廠制造電子元件過程中,次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是:p=(x∈N*). (1)將該廠的日盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù); (2)為獲最大盈利,該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件? [解] (1)因為次品率p=, 所以當每天生產(chǎn)x件時,有x件次品, 有x件正品. 所以T=200x-100x =25(x∈N*). (2)T′=-25, 由T′=0,得x=16或x=-32(舍去). 當0<x<16時,T′>0; 當x>16時,T′<0; 所以當x=16時,T最大, 即該廠的日產(chǎn)量定為16件,能獲得最大盈利. 10.已知函數(shù)f(x)=-x3+12x+m. (1)若x∈R,求函數(shù)f(x)的極大值與極小值之差; (2)若函數(shù)y=f(x)有三個零點,求m的取值范圍; (3)當x∈[-1,3]時,f(x)的最小值為-2,求f(x)的最大值. [解] (1)f′(x)=-3x2+12. 當f′(x)=0時,x=-2或x=2. 當f′(x)>0時,-2<x<2. 當f′(x)<0時,x<-2或x>2. ∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞減,在(-2,2)上單調(diào)遞增. ∴f(x)極小值=f(-2)=-16+m. f(x)極大值=f(2)=16+m. ∴f(x)極大值-f(x)極小值=32. (2)由(1)知要使函數(shù)y=f(x)有三個零點,必須即 ∴-16<m<16. ∴m的取值范圍為(-16,16). (3)當x∈[-1,3]時,由(1)知f(x)在[-1,2)上單調(diào)遞增,f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減,f(x)的最大值為f(2). 又f(-1)=-11+m,f(3)=m+9, ∴f(-1)<f(3), ∴在[-1,3]上f(x)的最小值為f(-1)=-11+m, ∴-11+m=-2,∴m=9. ∴當x∈[-1,3]時,f(x)的最大值為 f(2)=(-2)3+122+9=25. [能力提升練] 1.若函數(shù)f(x)=x3-(2b+1)x2+b(b+1)x在(0,2)內(nèi)有極小值,則( ) 【導(dǎo)學(xué)號:31062113】 A.0<b<1 B.0<b<2 C.-1<b<1 D.-1<b<2 C [f′(x)=x2-(2b+1)x+b(b+1)=(x-b)[x-(b+1)].令f′(x)=0,則x=b或x=b+1,x=b+1是極小值點, ∴0<b+1<2,∴-1<b<1.] 2.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f′(x)>1-f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式exf(x)>ex+5(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞) A [由題意可知不等式為exf(x)-ex-5>0, 設(shè)g(x)=exf(x)-ex-5, ∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex =ex[f(x)+f′(x)-1]>0. ∴函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞增.又∵g(0)=0,∴g(x)>0的解集為(0,+∞).] 3.已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0,則a的值為________. [解析] f(x)的定義域為(-a,+∞), f′(x)=1-=. 由f′(x)=0,解得x=1-a>-a. 當-a<x<1-a時,f′(x)<0,f(x)在(-a,1-a)上單調(diào)遞減;當x>1-a時,f′(x)>0,f(x)在(1-a,+∞)上單調(diào)遞增. 因此,f(x)在x=1-a處取得最小值, 由題意知f(1-a)=1-a=0,故a=1. [答案] 1 4.若函數(shù)f(x)=x2+ax+在上是增函數(shù),則a的取值范圍是________. [解析] 因為f(x)=x2+ax+在上是增函數(shù), 故f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立, 即a≥-2x在上恒成立. 令h(x)=-2x,則h′(x)=--2, 當x∈時,h′(x)<0,則h(x)為減函數(shù), 所以h(x)<h=3,所以a≥3. [答案] [3,+∞) 5.已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R), (1)若f(x)在x=2時取得極值,求a的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)求證:當x>1時,x2+ln x<x3. 【導(dǎo)學(xué)號:31062114】 [解] (1)f′(x)=x-,因為x=2是一個極值點,所以2-=0,則a=4.此時f′(x)=x-=,因為f(x)的定義域是(0,+∞),所以當x∈(0,2)時,f′(x)<0;當x∈(2,+∞),f′(x)>0,所以當a=4時,x=2是一個極小值點,故a=4. (2)因為f′(x)=x-=,所以當a≤0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞). 當a>0時,f′(x)=x-==,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞);遞減區(qū)間為(0,). (3)證明:設(shè)g(x)=x3-x2-ln x,則g′(x)=2x2-x-,因為當x>1時,g′(x)=>0,所以g(x)在x∈(1,+∞)上是增函數(shù),所以g(x)>g(1)=>0, 所以當x>1時,x2+ln x<x3.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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