新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第五章】平面向量 學(xué)案27

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案27 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題. 自主梳理 1.向量數(shù)量積的定義 (1)向量數(shù)量積的定義:____________________________________________,其中|a|cos〈a,b〉叫做向量a在b方向上的投影.

2、 (2)向量數(shù)量積的性質(zhì): ①如果e是單位向量,則a·e=e·a=__________________; ②非零向量a,b,a⊥b?________________; ③a·a=________________或|a|=________________; ④cos〈a,b〉=________; ⑤|a·b|____|a||b|. 2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律:a·b=________; (2)分配律:(a+b)·c=________________; (3)數(shù)乘向量結(jié)合律:(λa)·b=________________. 3.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式 (1)

3、兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和,即若a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a·b=________________________; (2)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a⊥b?________________________; (3)設(shè)向量a=(a1,a2),b=(b1,b2), 則|a|=________________,cos〈a,b〉=____________________________. (4)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=________________________,所以||=_____________________.

4、 自我檢測(cè) 1.(2010·湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,則·等于 (  ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 2.(2010·重慶)已知向量a,b滿足a·b=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|= (  ) A.0 B.2 C.4 D.8 3.(2011·福州月考)已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,則λ等于 (  ) A.-2 B.2 C. D.- 4.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(-2,y),B(0,),C(x,y),

5、若⊥,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_______________. 5.(2009·天津)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足=+,則·=________. 探究點(diǎn)一 向量的模及夾角問(wèn)題 例1 (2011·馬鞍山月考)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a與b的夾角θ;(2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面積. 變式遷移1 (1)已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是

6、 (  ) A.1 B.2 C. D. (2)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a與b的夾角為銳角,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_______. 探究點(diǎn)二 兩向量的平行與垂直問(wèn)題 例2 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且ka+b的長(zhǎng)度是a-kb的長(zhǎng)度的倍(k>0). (1)求證:a+b與a-b垂直; (2)用k表示a·b; (3)求a·b的最小值以及此時(shí)a與b的夾角θ. 變式遷移2 (2009·江蘇)設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(si

7、n β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan αtan β=16,求證:a∥b. 探究點(diǎn)三 向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例3 已知向量a=, b=,且x∈. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 變式遷移3 (2010·四川)已知△ABC的面積S=··=3,且cos B=,求cos C. 1.一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤結(jié)論: (1)若|a|=|b|,則a=b

8、;(2)若a2=b2,則a=b;(3)若a∥b,b∥c,則a∥c;(4)若a·b=0,則a=0或b=0;(5)|a·b|=|a|·|b|;(6)(a·b)c=a(b·c);(7)若a·b=a·c,則b=c.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的,應(yīng)用時(shí)要注意. 2.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a與b的夾角. 向量表示 坐標(biāo)表示 向量a的模 |a|== |a|= a與b的數(shù)量積 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 a與b共線的充要條件 A∥b(b≠0)?a=λb a∥b?x1y2-x2y1=0 非零

9、向量a,b垂直的充要條件 a⊥b?a·b=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 向量a與b的夾角 cos θ= cos θ= 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問(wèn)題的基本方法有: (1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化證明2=2或||=||. (2)要證兩線段AB∥CD,只要證存在唯一實(shí)數(shù)≠0,使等式=λ成立即可. (3)要證兩線段AB⊥CD,只需證·=0. (滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2010·重慶)若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,則實(shí)數(shù)m的值為 (  ) A.- B. C.2

10、 D.6 2.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),則實(shí)數(shù)k的值為 (  ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 3.已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則∠BAC等于 (  ) A.30° B.-150° C.150° D.30°或150° 4.(2010·湖南)若非零向量a,b滿足

11、|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為 (  ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為 (  ) A. B. C. D. 題號(hào) 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分,共12分) 6.(2010·湖南長(zhǎng)沙一中月考)設(shè)a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若a·b=,則sin α=_______

12、_. 7.(2010·廣東金山中學(xué)高三第二次月考)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為_(kāi)_______. 8.已知向量m=(1,1),向量n與向量m夾角為,且m·n=-1,則向量n=__________________. 三、解答題(共38分) 9.(12分)已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在線段OC上是否存在點(diǎn)M,使⊥,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 10.(12分)(2011·杭州調(diào)研)已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=(cos,sin). (1)求證:a⊥b; (2)若存在不等于

13、0的實(shí)數(shù)k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb,滿足x⊥y,試求此時(shí)的最小值. 11.(14分)(2011·濟(jì)南模擬)已知a=(1,2sin x),b=,函數(shù)f(x)=a·b (x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若f(x)=,求cos的值. 答案 自主梳理 1.(1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉 (2)①|(zhì)a|cos〈a,e〉?、赼·b=0 ③|a|2 ?、堋? ⑤≤ 2.(1)b·a (2)a·c+b·c (3)λ(a·b) 3.(1)a1b1+a2b2 (2)a1b1+a2b2=0 (3)  (4)(x2

14、-x1,y2-y1)  自我檢測(cè) 2.B [|2a-b|= ===2.] 3.D [由(a+λb)·b=0得a·b+λ|b|2=0, ∴1+2λ=0,∴λ=-.] 4.y2=8x(x≠0) 解析 由題意得=, =,又⊥,∴·=0, 即·=0,化簡(jiǎn)得y2=8x(x≠0). 5.-2 解析 合理建立直角坐標(biāo)系,因?yàn)槿切问钦切?,故設(shè)C(0,0),A(2,0),B(,3),這樣利用向量關(guān)系式,求得=,=,=,所以·=-2. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴

15、64-4a·b-27=61, ∴a·b=-6. ∴cos θ===-. 又0≤θ≤π,∴θ=. (2)|a+b|= = ==. (3)∵與的夾角θ=, ∴∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, ∴S△ABC=||||sin∠ABC =×4×3×=3. 變式遷移1 (1)C [∵|a|=|b|=1,a·b=0, 展開(kāi)(a-c)·(b-c)=0?|c|2=c·(a+b) =|c|·|a+b|cos θ,∴|c|=|a+b|cos θ=cos θ, ∴|c|的最大值是.] (2)λ<且λ≠-2 解析 ∵〈a,b〉∈(0,),∴a·b>0且a·b不

16、同向. 即|i|2-2λ|j|2>0,∴λ<. 當(dāng)a·b同向時(shí),由a=kb(k>0)得λ=-2. ∴λ<且λ≠-2. 例2 解題導(dǎo)引 1.非零向量a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 2.當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí),要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示.但要注意運(yùn)算技巧,有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示,并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算,要因題而異. 解 (1)由題意得,|a|=|b|=1, ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, ∴a+b與a-b垂直. (2)|ka+b|2=k2a2+2ka·b+b2=k2+2ka·b+1, (|a-kb|)2=3(1+k2)-6ka·b. 由條

17、件知,k2+2ka·b+1=3(1+k2)-6ka·b, 從而有,a·b=(k>0). (3)由(2)知a·b==(k+)≥, 當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立,即k=±1. ∵k>0,∴k=1. 此時(shí)cos θ==,而θ∈[0,π],∴θ=. 故a·b的最小值為,此時(shí)θ=. 變式遷移2 (1)解 因?yàn)閍與b-2c垂直, 所以a·(b-2c) =4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 因此tan(α+β)=2. (2)解 由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin

18、β), 得|b+c|= =≤4. 又當(dāng)β=-時(shí),等號(hào)成立,所以|b+c|的最大值為4. (3)證明 由tan αtan β=16得=, 所以a∥b. 例3 解題導(dǎo)引 與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型.解答此類(lèi)問(wèn)題,除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外,還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí). 解 (1)a·b=cos xcos -sin xsin =cos 2x, |a+b|= ==2|cos x|, ∵x∈,∴cos x>0, ∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x

19、-2cos x-1 =22-. ∵x∈,∴≤cos x≤1, ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最小值-; 當(dāng)cos x=1時(shí),f(x)取得最大值-1. 變式遷移3 解 由題意,設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c,則S=bcsin A=. ·=bccos A=3>0, ∴A∈,cos A=3sin A. 又sin2A+cos2A=1, ∴sin A=,cos A=. 由題意cos B=,得sin B=. ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=. ∴cos C=cos[π-(A+B)]=-. 課后練習(xí)區(qū) 1.D [因?yàn)閍·b=6-m=0,所

20、以m=6.] 2.D [由(2a+3b)·(ka-4b)=0得2k-12=0,∴k=6.] 3.C [∵S△ABC=|a||b|sin∠BAC=, ∴sin∠BAC=.又a·b<0, ∴∠BAC為鈍角.∴∠BAC=150°.] 4.C [由(2a+b)·b=0,得2a·b=-|b|2. cos〈a,b〉===-. ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=120°.] 5.B [因?yàn)閍·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉, 所以,a在b上的投影為|a|·cos〈a,b〉 ====.] 6. 解析 ∵a·b=cos 2α+2sin2α-sin α=, ∴1-2s

21、in2α+2sin2α-sin α=,∴sin α=. 7.120° 解析 設(shè)a與b的夾角為θ,∵c=a+b,c⊥a, ∴c·a=0,即(a+b)·a=0.∴a2+a·b=0. 又|a|=1,|b|=2,∴1+2cos θ=0. ∴cos θ=-,θ∈[0°,180°]即θ=120°. 8.(-1,0)或(0,-1) 解析 設(shè)n=(x,y),由m·n=-1, 有x+y=-1.① 由m與n夾角為, 有m·n=|m|·|n|cos , ∴|n|=1,則x2+y2=1.② 由①②解得或, ∴n=(-1,0)或n=(0,-1). 9.解 設(shè)存在點(diǎn)M,且=λ=(6λ,3λ)

22、 (0≤λ≤1), =(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).…………………………………………(4分) ∵⊥, ∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,………………………………………………(8分) 即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=. ∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或. 故在線段OC上存在點(diǎn)M,使⊥,且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)或(,).………(12分) 10.(1)證明 ∵a·b=cos(-θ)·cos+sin·sin =sin θcos θ-sin θcos θ=0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分) (2)解 由x⊥y得

23、,x·y=0, 即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0, ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0, ∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.………………………………………………………………(6分) 又|a|2=1,|b|2=1, ∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t.…………………………………………………………(8分) ∴==t2+t+3 =2+.……………………………………………………………………………(10分) 故當(dāng)t=-時(shí),有最小值.………………………………………………………(12分) 11.解 (1)f(x)=a·b=2cos

24、+2sin x =2cos xcos -2sin xsin +2sin x =cos x+sin x=2sin.…………………………………………………………(5分) 由+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z, 得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (k∈Z).……………………………………………………………(8分) (2)由(1)知f(x)=2sin. 又因?yàn)?sin=, 所以sin=,……………………………………………………………………(11分) 即sin=cos=cos=. 所以cos=2cos2-1=.………………………………………………(14分)

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