高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分專項(xiàng)二 專題七 2 第2講　不等式選講 學(xué)案 Word版含解析

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1、第 2 講不等式選講年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析2018卷絕對(duì)值不等式的解法、不等式的恒成立問題T231.不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對(duì)值不等式的解法等，命題的熱點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解2此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用.卷絕對(duì)值不等式的解法、不等式的恒成立問題T23卷含絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫法、不等式的恒成立問題T232017卷含絕對(duì)值不等式的解法、求參數(shù)的取值范圍T23卷基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形及證明不等式的方法T23卷含絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)最值的求解T23201

2、6卷含絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫法、含絕對(duì)值不等式的解法T24卷含絕對(duì)值不等式的解法、比較法證明不等式T24卷含絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)T24絕對(duì)值不等式的解法(綜合型)含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)a；(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c 的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解典型例題(2018太原模擬)已知函數(shù) f(x)|xm|2x1|.(1)當(dāng) m1 時(shí)，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)|2x1|的解集包含34，2，求 m 的取值范圍【解】(1)當(dāng) m1 時(shí)，f(x)|x

3、1|2x1|，當(dāng) x1 時(shí)，f(x)3x22，所以 1x43；當(dāng)12x1 時(shí)，f(x)x2，所以12x0)，|xa|xb|c(或c)(c0)型不等式的解法可通過零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解(1)零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根將這些根按從小到大排列，把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出解集取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對(duì)值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸上與 x 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到 a， b 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|xa|xb|c(或c)(c0)或

4、|xa|xb|c(或c)(c0)的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018合肥第一次質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù) f(x)|2x1|.(1)解關(guān)于 x 的不等式 f(x)f(x1)1；(2)若關(guān)于 x 的不等式 f(x)mf(x1)的解集不是空集，求 m 的取值范圍解：(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1，則x12，2x12x11或12x12，12x2x11或x12，12x2x11，解得 x12或14x12，即 x14，所以原不等式的解集為14，.(2)由條件知，不等式|2x1|2x1|(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x2x1|2，當(dāng)且

5、僅當(dāng)(12x)(2x1)0，即 x12，12 時(shí)等號(hào)成立，故 m2.所以 m 的取值范圍是(2，)不等式的證明(綜合型)含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|ab|a|b|.算術(shù)幾何平均不等式定理 1：設(shè) a，bR，則 a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立定理 2：如果 a，b 為正數(shù)，則ab2 ab，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立定理 3：如果 a，b，c 為正數(shù)，則abc33abc，當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)，等號(hào)成立定理 4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果 a1，a2，an為 n 個(gè)正數(shù)，則a1a2annna1a2an，當(dāng)且僅當(dāng) a1a2an時(shí)，等號(hào)成立典型例題(2018長(zhǎng)春質(zhì)量檢測(cè)(

6、一)設(shè)不等式|x1|x1|1.【解】(1)由已知，令 f(x)|x1|x1|2，x1，2x，1x1，2，x1，由|f(x)|2 得1x1，即 Ax|1x1，只需證|1abc|abc|，只需證 1a2b2c2a2b2c2，只需證 1a2b2c2(1a2b2)，只需證(1a2b2)(1c2)0，由 a，b，cA，得 a2b21，c20 恒成立綜上，|1abcabc|1.證明不等式的方法和技巧(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或是否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)

7、問題的表述和證明尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明，其簡(jiǎn)化的基本思路是化去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來”為簡(jiǎn)化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018陜西教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一)已知函數(shù) f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式 f(x)3；(2)記函數(shù) g(x)f(x)|x1|的值域?yàn)?M，若 tM，證明 t213t3t.解：(1)依題意，得 f(x)3x，x1，2x，1x12，3x，x12，所以 f(x)3x1，3x3或1x0，所以（t3） （t21）t0，所以 t213t3t.含絕對(duì)值不等式的恒成立問

8、題(綜合型)典型例題(2018鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù) f(x)|x3|，g(x)|2x1|.(1)解不等式 f(x)ax4 對(duì)任意的實(shí)數(shù) x 恒成立，求 a 的取值范圍【解】(1)由已知，可得|x3|2x1|，即|x3|20，解得 x4.故所求不等式的解集為，23 (4，)(2)由已知，設(shè) h(x)2f(x)g(x)2|x3|2x1|4x5，x3，7，3xax4 恒成立，即 ax4x9 恒成立，因?yàn)?x34x9x49x恒成立，所以 a49xmax，所以 a1；當(dāng)3xax4 恒成立，即 ax3ax4 恒成立，即 ax0，所以 a4，且 x時(shí)，41x4，所以 a4.綜上，a 的取值范圍是(1，

9、4絕對(duì)值不等式的成立問題的求解模型(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為 af(x)或 af(x)形式(2)轉(zhuǎn)化最值： f(x)a 恒成立f(x)mina； f(x)a 恒成立f(x)maxa 有解f(x)maxa；f(x)a 有解f(x)mina 無解f(x)maxa；f(x)a 無解f(x)mina.(3)求最值：利用基本不等式或絕對(duì)值不等式求最值(4)得結(jié)論對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2018高考全國(guó)卷)已知 f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng) a1 時(shí)，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0，1)時(shí)不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范圍解：(1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)|x1|x1|，即

10、 f(x)2，x1，2x，1x1 的解集為x|x12(2)當(dāng) x(0，1)時(shí)|x1|ax1|x 成立等價(jià)于當(dāng) x(0，1)時(shí)|ax1|0，|ax1|1 的解集為 0 x2a，所以2a1，故 04|a1|，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(2)若存在實(shí)數(shù) x，y，使 f(x)g(y)0，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)因?yàn)?f(2a21)4|a1|，所以|2a22a|a21|4|a1|，所以|a1|(2|a|a1|4)0，所以|2a|a1|4 且 a1.若 a1，則2aa14，所以 a53；若1a4，所以 a4，所以 a1.綜上所述，a 的取值范圍為，53 (1，)(2)因?yàn)?g(x)(x1)24（x1

11、）252（x1）24（x1）251，顯然可取等號(hào)，所以 g(x)min1.于是，若存在實(shí)數(shù) x，y，使 f(x)g(y)0，只需 f(x)min1.又 f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2，所以(a1)21，所以1a11，所以 0a2，即 a0，21(2018高考全國(guó)卷)設(shè)函數(shù) f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng) a1 時(shí)，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范圍解：(1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)2x4，x1，2，1x2，2x6，x2.可得 f(x)0 的解集為x|2x3(2)f(x)1 等價(jià)于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)

12、 x2 時(shí)等號(hào)成立故 f(x)1 等價(jià)于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范圍是(，62，)2(2018開封模擬)已知函數(shù) f(x)|xm|，m0.(1)當(dāng) m1 時(shí)，求解不等式 f(x)f(x)2x；(2)若不等式 f(x)f(2x)1 的解集非空，求 m 的取值范圍解：(1)設(shè) F(x)|x1|x1|2x，x1，2，1x1，G（x）2x，2x，x1.由 F(x)G(x)解得x|x2 或 x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0.設(shè) g(x)f(x)f(2x)，當(dāng) xm 時(shí)，g(x)mxm2x2m3x，則 g(x)m；當(dāng) mxm2時(shí)，g(x)xmm2x

13、x，則m2g(x)m；當(dāng) xm2時(shí)，g(x)xm2xm3x2m，則 g(x)m2.則 g(x)的值域?yàn)閙2，不等式 f(x)f(2x)m2，解得 m2，由于 m0 的解集；(2)若函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)當(dāng) a3 時(shí)，不等式可化為|3x1|x0，即|3x1|x，所以 3x1x，即 x12，所以不等式 f(x)0 的解集為x|x12 .(2)當(dāng) a0 時(shí)，f(x)2x1，x1a，2（1a）x1，x0，2（1a）0，即 1a2；當(dāng) a0 時(shí)，f(x)2x1，函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸有交點(diǎn)，不合題意；當(dāng) a1a，要使函數(shù) f(x)的圖象與 x 軸

14、無交點(diǎn)，只需2a11 且 x12，a2 時(shí)，f(x)g(x)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)4x，x12.當(dāng) x12時(shí)，f(x)2 無解綜上所述，f(x)2 的解集為x|12x12 .(2)當(dāng) x12，a2 時(shí)，f(x)(a2x)(2x1)a1，所以 f(x)g(x)可化為 a1g(x)又 g(x)4x2ax3 在12，a2 上的最大值必為 g12 、ga2 之一，則a1g12a1ga2，即a243a2，即43a2.又 a1，所以1a2，所以 a 的取值范圍為(1，26(2018南昌模擬)已知函數(shù) f(x)|2x3a2|.(1)當(dāng) a0 時(shí)，求不等式 f(x)|x2|3

15、 的解集；(2)若對(duì)于任意函數(shù) x，不等式|2x1|f(x)2a 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)當(dāng) a0 時(shí)，不等式可化為|2x|x2|3，得x22xx23，解得 x13或 x1，所以當(dāng) a0 時(shí)，不等式 f(x)|x2|3 的解集為，13 1，)(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，不等式|2x1|f(x)2a 恒成立，即|2x1|2x3a2|2a 恒成立因?yàn)閨2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a21|2a.當(dāng) a0 時(shí)，無解；當(dāng) 0a33時(shí)，13a22a，解得1333時(shí)，3a212a，解得33a1.所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是13，1.7(2018

16、福州模擬)已知函數(shù) f(x)x2|x|1.(1)求不等式 f(x)2x 的解集；(2)若關(guān)于 x 的不等式 f(x)|x2a|在0，)上恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)不等式 f(x)2x 等價(jià)于 x2|x|2x10，當(dāng) x0 時(shí)，式化為 x23x10，解得 x3 52或 0 x3 52；當(dāng) x0 時(shí)，式化為 x2x10，解得 xg(x)的解集；(2)若對(duì)任意 x1，x2R，不等式 f(x1)g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)當(dāng) a4 時(shí)，不等式 f(x)g(x)為 x22|x4|x1|，g(x)|x4|x1|3，x4，2x5，1x3 恒成立，所以 x4.當(dāng) 1x2x5，即 x22x30，得 x1 或 x3，所以 1x3，則 x1 或 x1，所以 xg(x)的解集為x|x1(2)當(dāng) a1 時(shí)，g(x)1a，xa，a12x，1xa，a1，x1，所以 g(x)的最大值為 a1.要使 f(x1)g(x2)，只需 2a1，則 a3，所以 1a3.當(dāng) a1 時(shí)，g(x)a1，x1，2xa1，ax1，a1，xa所以 g(x)的最大值為 1a.要使 f(x1)g(x2)，只需 21a，則 a1，所以1a1.綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是1，3.