2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 平面向量 2.5 向量的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修4.doc

2.5　向量的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及某些物理學(xué)中的問題.2.體會向量是一種處理幾何及物理問題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問題的能力． 知識點(diǎn)一　幾何性質(zhì)與向量的關(guān)系 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ. 思考1　證明線線平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識？ 答案　可用向量共線的相關(guān)知識：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)． 思考2　證明垂直問題，可用向量的哪些知識？ 答案　可用向量垂直的相關(guān)知識：a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 梳理　平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來． 知識點(diǎn)二　向量方法解決平面幾何問題的步驟 1．建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題． 2．通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題． 3．把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 知識點(diǎn)三　物理中的量和向量的關(guān)系 1．物理學(xué)中的許多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． 2．物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加法運(yùn)算與減法運(yùn)算． 1．功是力F與位移S的數(shù)量積．(　√　) 2．力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運(yùn)算．(　√　) 3．某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達(dá)江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直．(　√　) 類型一　用平面向量求解直線方程 例1　已知△ABC的三個頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn)． (1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程． 解　(1)由已知得點(diǎn)D(－1，1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)，則∥. ＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)． ∴(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0為直線DE的方程． 同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0. (2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)， 則⊥. ∴＝0. 又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程． 反思與感悟　利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算． 跟蹤訓(xùn)練1　在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分線所在的直線方程． 解?。?3，4)，＝(－8，6)， ∠A的平分線的一個方向向量為 a＝＋＝＋＝. 設(shè)P(x，y)是角平分線上的任意一點(diǎn)， ∵∠A的平分線過點(diǎn)A，∴∥a， ∴所求直線方程為－(x－4)－(y－1)＝0. 整理得7x＋y－29＝0. 類型二　用平面向量求解平面幾何問題 例2　已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，BE，CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB. 證明　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(xiàn)(0，1)． (1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1)． ∴＝(－1)(－2)＋2(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y－1)， ＝(2，1)，∵∥， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4， 由得 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ∴||＝＝2＝||， 即AP＝AB. 反思與感悟　用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路： (1)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟： ①選取基底．②用基底表示相關(guān)向量．③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系．④把幾何問題向量化． (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟： ①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．②把相關(guān)向量坐標(biāo)化．③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系．④把幾何問題向量化． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)DP，EF，求證：DP⊥EF. 證明　方法一　設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)， 則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴＝(＋)(＋) ＝＋＋＋ ＝1acos180＋1(1－a)cos90＋aacos45＋a(1－a)cos45 ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. ∴⊥，即DP⊥EF. 方法二　如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方形ABCD的邊長為1， AP＝λ(0<λ<)， 則D(0，1)，P， E，F(xiàn). ∴＝，＝． ∴＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 類型三　向量在物理學(xué)中的應(yīng)用 例3　(1)在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30，60(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大?。? 解　如圖，兩根繩子的拉力之和＋＝， 且||＝||＝300N，∠AOC＝30， ∠BOC＝60. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60， ∠AOC＝30， 則∠OAC＝90， 從而||＝||cos30＝150(N)， ||＝||sin30＝150(N)， 所以||＝||＝150(N)． 答　與鉛垂線成30角的繩子的拉力是150N，與鉛垂線成60角的繩子的拉力是150N. (2)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項(xiàng)水上運(yùn)動，如果一帆船所受的風(fēng)力方向?yàn)楸逼珫|30，速度為20km/h，此時水的流向是正東，流速為20 km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向． 解　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向?yàn)楸逼珫|30，速度為|v1|＝20(km/h)，水流的方向?yàn)檎龞|，速度為|v2|＝20(km/h)， 設(shè)帆船行駛的速度為v， 則v＝v1＋v2. 由題意，可得向量v1＝(20cos60，20sin60)＝(10，10)，向量v2＝(20，0)， 則帆船的行駛速度為 v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0)＝(30，10)， 所以|v|＝＝20(km/h)． 因?yàn)閠anα＝＝(α為v和v2的夾角，且為銳角)， 所以α＝30， 所以帆船向北偏東60的方向行駛，速度為20km/h. 反思與感悟　利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運(yùn)算法則，運(yùn)算律或性質(zhì)計算．第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算． 跟蹤訓(xùn)練3　河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10km/h，求小船的實(shí)際航行速度． 解　設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點(diǎn)O作＝a，＝b，以，為鄰邊作矩形OACB，連結(jié)，如圖，則＝a＋b，并且即為小船的實(shí)際航行速度． ∴||＝＝＝20(km/h)， tan∠AOC＝＝， ∴∠AOC＝60， ∴小船的實(shí)際航行速度為20km/h，按北偏東30的方向航行． 例4　已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20，15)移動到點(diǎn)B(7，0)． (1)求力F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功； (2)求力F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功． 解　(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W1＝F1＝(3，4)(－13，－15) ＝3(－13)＋4(－15)＝－99(J)， W2＝F2＝(6，－5)(－13，－15) ＝6(－13)＋(－5)(－15)＝－3(J)． ∴力F1，F(xiàn)2對質(zhì)點(diǎn)所做的功分別為－99J和－3J. (2)W＝F＝(F1＋F2) ＝[(3，4)＋(6，－5)](－13，－15)＝(9，－1)(－13，－15) ＝9(－13)＋(－1)(－15)＝－117＋15＝－102(J)． ∴合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功為－102J. 反思與感悟　物理上的功實(shí)質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積． 跟蹤訓(xùn)練4　一個物體受到同一平面內(nèi)的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45的方向移動了8m，其中|F1|＝2N，方向?yàn)楸逼珫|30，|F2|＝4N，方向?yàn)楸逼珫|60，|F3|＝6N，方向?yàn)楸逼?0，求合力F所做的功． 解　以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示． 則F1＝(1，)，F(xiàn)2＝(2，2)， F3＝(－3，3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)． 又因?yàn)槲灰苨＝(4，4)， 所以合力F所做的功為W＝Fs＝(2－2)4＋(2＋4)4＝46＝24(J)． 即合力F所做的功為24J. 1．已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60，則力F所做的功W＝________J. 答案　300 解析　W＝Fs＝|F||s|cos〈F，s〉＝6100cos60＝300(J)． 2．過點(diǎn)A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直線方程為________________． 答案　2x＋y－7＝0 解析　設(shè)P(x，y)為直線上一點(diǎn)，則⊥a，即(x－2)2＋(y－3)1＝0，即2x＋y－7＝0. 3．用兩條成120角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N. 答案　10 解析　設(shè)重力為G，每根繩的拉力分別為F1，F(xiàn)2，則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60角， 且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N， ∴每根繩子的拉力都為10N. 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________． 答案　22 解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因?yàn)椋?，所以(＋)(－)＝2，即－－2＝2.又因?yàn)?＝25，2＝64，所以＝22. 5．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________． 答案　2 解析　連結(jié)AO，∵O是BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)． 又∵＝m，＝n， ∴＝＋. 又∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線， ∴＋＝1，則m＋n＝2. 利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo)． 一、填空題 1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，則BC邊的中線AD的長是________． 答案　 解析　∵BC的中點(diǎn)為D，＝， ∴||＝. 2．已知三個力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3，2)，F(xiàn)3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個力F4，則F4＝________. 答案　(1，2) 解析　∵物體平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0， ∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)＝(1，2)． 3．一條河寬為800m，一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12 km/h，則船到達(dá)B處所需時間為________min. 答案　3 解析　∵v實(shí)際＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20，|v2|＝12， ∴|v實(shí)際|＝ ＝＝16(km/h)． ∴所需時間t＝＝0.05(h) ＝3(min)． ∴該船到達(dá)B處所需的時間為3min. 4．在四邊形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，則該四邊形的面積為________． 答案　5 解析　∵＝0， ∴AC⊥BD. ∴四邊形ABCD的面積 S＝||||＝2＝5. 5．已知△ABC三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為D(1，2)，E(3，4)，F(xiàn)(5，6)，則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是________． 答案　(7，8) 解析　設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)． 由已知得＝(4，4)， ＝(x－3，y－4)． ∵∥且||＝||， ∴ 解得或 ∵與同向，故(－1，0)舍去，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(7，8)． 6．過點(diǎn)A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直線方程是____________________． 答案　5x－3y－21＝0 解析　設(shè)P(x，y)為直線上異于A的任意一點(diǎn)，∴＝(x－3，y＋2)，又⊥n，∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，即5x－3y－21＝0. 7．在?ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點(diǎn)，若＝1，則AB的長為________． 答案　 解析　設(shè)AB的長為a(a＞0)， 因?yàn)椋剑?，＝＋＝－? 所以＝(＋)(－) ＝－2＋2＝－a2＋a＋1. 由已知，得－a2＋a＋1＝1， 又因?yàn)閍＞0，所以a＝，即AB的長為. 8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(＋)＝________. 答案?。? 解析　如圖，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)， ∴C(2，1)． ∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴E，F(xiàn)(1，1)， ∴＋＝，＝(－2，1)， ∴(＋)＝3(－2)＋1＝－. 9．已知直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，則＝________. 答案?。? 解析　如圖，作OD⊥AB于點(diǎn)D，則在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以∠AOD＝60，∠AOB＝120，所以＝||||cos120＝11(－)＝－. 10．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3－－＝0，則△ABM與△ABC的面積之比為________． 答案　1∶3 解析　如圖，D為BC邊的中點(diǎn)， 則＝(＋)． 因?yàn)?－－＝0， 所以3＝2， 所以＝， 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 二、解答題 11．在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？ 解　如圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船實(shí)際垂直過江的速度． 因?yàn)椋剑? 所以四邊形ABCD為平行四邊形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90，||＝||＝12.5，||＝25， 所以∠CAD＝30， 即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30. 12．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60，動點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，求的最小值． 解　在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴＝(＋λ)(＋) ＝＋＋λ＋λ ＝21cos60＋2＋λ11cos60＋λcos120＝＋＋， 由對勾函數(shù)的性質(zhì)知≥2＋＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即λ＝(舍負(fù))時，取得最小值. 13.如圖所示，在正三角形ABC中，D，E分別是AB，BC上的一個三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A，點(diǎn)B，且AE，CD交于點(diǎn)P.求證：BP⊥DC. 證明　設(shè)＝λ，并設(shè)△ABC的邊長為a，則有 ＝＋＝λ＋＝λ(-) ＝(2λ＋1)－λ， ＝－. ∵∥，∴(2λ＋1)－λ＝k－k. 于是有解得λ＝. ∴＝， ∴＝＋＝＋，＝－， 從而＝(＋)(－) ＝a2－a2－a2cos60＝0，∴⊥， ∴BP⊥DC. 三、探究與拓展 14．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝，＝5，則AC的長為________． 答案　2 解析　由題意得，＝， ∵2＝(＋)2＝2＋2＋2 ＝2＋2－2＝2＋9－2＝5. ∴2＝1 ∴AD＝||＝1， ∴AC＝2. 15．如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0，0)，B(4，1)，C(6，8)． (1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)若＝2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo)． 解　(1)設(shè)點(diǎn)D(m，n)，因?yàn)椋剑? 所以(m，n)＝(6，8)－(4，1)＝(2，7)， 所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，7)． (2)設(shè)點(diǎn)I(x，y)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 由于＝2， 故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE，8－yE)，所以E， 由于＝，＝(x－4，y－1)，∥， 所以(x－4)＝－3(y－1)，① 又∥，所以x＝y(tǒng)，② 解①②得x＝，y＝. 則點(diǎn)I的坐標(biāo)為.