2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 平面向量 2.5 向量的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修4.doc
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2.5 向量的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及某些物理學(xué)中的問題.2.體會向量是一種處理幾何及物理問題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問題的能力． 知識點(diǎn)一 幾何性質(zhì)與向量的關(guān)系 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ. 思考1 證明線線平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識？ 答案 可用向量共線的相關(guān)知識：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)． 思考2 證明垂直問題，可用向量的哪些知識？ 答案 可用向量垂直的相關(guān)知識：a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 梳理 平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來． 知識點(diǎn)二 向量方法解決平面幾何問題的步驟 1．建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題． 2．通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題． 3．把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 知識點(diǎn)三 物理中的量和向量的關(guān)系 1．物理學(xué)中的許多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． 2．物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加法運(yùn)算與減法運(yùn)算． 1．功是力F與位移S的數(shù)量積．( √ ) 2．力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運(yùn)算．( √ ) 3．某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達(dá)江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直．( √ ) 類型一 用平面向量求解直線方程 例1 已知△ABC的三個頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn)． (1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程． 解 (1)由已知得點(diǎn)D(－1，1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)，則∥. ＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)． ∴(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0為直線DE的方程． 同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0. (2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)， 則⊥. ∴＝0. 又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程． 反思與感悟 利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算． 跟蹤訓(xùn)練1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分線所在的直線方程． 解?。?3，4)，＝(－8，6)， ∠A的平分線的一個方向向量為 a＝＋＝＋＝. 設(shè)P(x，y)是角平分線上的任意一點(diǎn)， ∵∠A的平分線過點(diǎn)A，∴∥a， ∴所求直線方程為－(x－4)－(y－1)＝0. 整理得7x＋y－29＝0. 類型二 用平面向量求解平面幾何問題 例2 已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，BE，CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB. 證明 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(xiàn)(0，1)． (1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1)． ∴＝(－1)(－2)＋2(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y－1)， ＝(2，1)，∵∥， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4， 由得 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ∴||＝＝2＝||， 即AP＝AB. 反思與感悟 用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路： (1)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟： ①選取基底．②用基底表示相關(guān)向量．③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系．④把幾何問題向量化． (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟： ①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．②把相關(guān)向量坐標(biāo)化．③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系．④把幾何問題向量化． 跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)DP，EF，求證：DP⊥EF. 證明 方法一 設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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