2018-2019高中數(shù)學 第2章 平面向量 2.5 向量的應用學案 蘇教版必修4.doc
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2.5 向量的應用 學習目標 1.學習用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及某些物理學中的問題.2.體會向量是一種處理幾何及物理問題的有力工具.3.培養(yǎng)運算能力、分析和解決實際問題的能力． 知識點一 幾何性質與向量的關系 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ. 思考1 證明線線平行、點共線及相似問題，可用向量的哪些知識？ 答案 可用向量共線的相關知識：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)． 思考2 證明垂直問題，可用向量的哪些知識？ 答案 可用向量垂直的相關知識：a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 梳理 平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來． 知識點二 向量方法解決平面幾何問題的步驟 1．建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題． 2．通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題． 3．把運算結果“翻譯”成幾何關系． 知識點三 物理中的量和向量的關系 1．物理學中的許多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． 2．物理學中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加法運算與減法運算． 1．功是力F與位移S的數(shù)量積．( √ ) 2．力的合成與分解體現(xiàn)了向量的加減法運算．( √ ) 3．某輪船需橫渡長江，船速為v1，水速為v2，要使輪船最快到達江的另一岸，則需保持船頭方向與江岸垂直．( √ ) 類型一 用平面向量求解直線方程 例1 已知△ABC的三個頂點A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點． (1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程； (2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程． 解 (1)由已知得點D(－1，1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)，設M(x，y)是直線DE上任意一點，則∥. ＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)． ∴(－2)(x＋1)－(－2)(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0為直線DE的方程． 同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0. (2)設點N(x，y)是CH所在直線上任意一點， 則⊥. ∴＝0. 又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)． ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程． 反思與感悟 利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標利用向量法則進行運算． 跟蹤訓練1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分線所在的直線方程． 解?。?3，4)，＝(－8，6)， ∠A的平分線的一個方向向量為 a＝＋＝＋＝. 設P(x，y)是角平分線上的任意一點， ∵∠A的平分線過點A，∴∥a， ∴所求直線方程為－(x－4)－(y－1)＝0. 整理得7x＋y－29＝0. 類型二 用平面向量求解平面幾何問題 例2 已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB. 證明 建立如圖所示的平面直角坐標系，設AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(xiàn)(0，1)． (1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1)． ∴＝(－1)(－2)＋2(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)設點P坐標為(x，y)，則＝(x，y－1)， ＝(2，1)，∵∥， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4， 由得 ∴點P的坐標為. ∴||＝＝2＝||， 即AP＝AB. 反思與感悟 用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路： (1)向量的線性運算法的四個步驟： ①選取基底．②用基底表示相關向量．③利用向量的線性運算或數(shù)量積找出相應關系．④把幾何問題向量化． (2)向量的坐標運算法的四個步驟： ①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担诎严嚓P向量坐標化．③用向量的坐標運算找出相應關系．④把幾何問題向量化． 跟蹤訓練2 如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連結DP，EF，求證：DP⊥EF. 證明 方法一 設正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0
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