2020版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法復數(shù)推理與證明 第5講 數(shù)學歸納法講義 理（含解析）.doc

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第5講　數(shù)學歸納法 [考綱解讀]　1.了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題．(重點) 2.數(shù)學歸納法的主要作用是證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式及數(shù)列問題．(難點) [考向預測]　從近三年高考情況來看，對本講并沒有直接涉及，當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式的證明，且其他方法不易證時，可以考慮用數(shù)學歸納法進行證明求解. 數(shù)學歸納法的定義 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： 1．(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； 2．(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，上述證明方法叫做數(shù)學歸納法． 1．概念辨析 (1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n＝1時結(jié)論成立．(　　) (2)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　　) (3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用．(　　) (4)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(　　) 答案　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．小題熱身 (1)下列結(jié)論能用數(shù)學歸納法證明的是(　　) A．x>sinx，x∈(0，π) B．ex≥x＋1(x∈R) C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*) D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R) 答案　C 解析　數(shù)學歸納法是用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，由此可知C符合題意． (2)用數(shù)學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在驗證n＝1時，等式左邊的項是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 解析　驗證n＝1時，等式左邊的項是1＋a＋a2. (3)用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真． 答案　2k＋1 解析　由于步長為2，所以2k－1后一個奇數(shù)應為2k＋1. 題型 　用數(shù)學歸納法證明恒等式 設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，θ∈[0,2π)．用數(shù)學歸納法證明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ. 證明?、佼攏＝1時，左邊＝右邊＝cosθ＋isinθ，所以命題成立； ②假設(shè)當n＝k時，命題成立，即 (cosθ＋isinθ)k＝coskθ＋isinkθ， 則當n＝k＋1時， (cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k(cosθ＋isinθ) ＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ) ＝(coskθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ) ＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ， 所以當n＝k＋1時，命題成立． 綜上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ. 數(shù)學歸納法證明等式的思路和注意點 (1)思路：用數(shù)學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少． (2)注意點：由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設(shè)，進行合理變形，正確寫出證明過程． 提醒：歸納假設(shè)就是證明n＝k＋1時命題成立的條件，必須用上，否則就不是數(shù)學歸納法. 用數(shù)學歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． 證明　①當n＝1時，左邊＝＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊，等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立． 即＋＋…＋＝， 當n＝k＋1時， 左邊＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝＝， 右邊＝ ＝， 左邊＝右邊，等式成立． 由①②知，對n∈N*，原等式成立． 題型 　用數(shù)學歸納法證明不等式 用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式…>均成立． 證明　①當n＝2時， 左邊＝1＋＝，右邊＝. ∵左邊>右邊，∴不等式成立． ②假設(shè)當n＝k(k≥2，且k∈N*)時不等式成立． 即…>. 則當n＝k＋1時， … >＝ ＝> ＝＝. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由①②知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式成立． 應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題 (1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法． (2)關(guān)鍵：用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明. 求證：當n≥1(n∈N*)時， (1＋2＋…＋n)≥n2. 證明　(1)當n＝1時，左邊＝右邊，命題成立． 當n＝2時，左邊＝(1＋2)＝>22， 命題成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥2)時命題成立，即 (1＋2＋…＋k)≥k2. 則當n＝k＋1時，有 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)] ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵當k≥2時，1＋＋…＋≥1＋＝， ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 這就是說當n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)可知當n≥1(n∈N*)時原命題成立． 題型 　歸納—猜想—證明 如圖，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(00，所以a1＝2， 同理可得a2＝6，a3＝12. (2)依題意，得xn＝，yn＝， 由此及y＝3xn得2＝(an－1＋an)， 即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)． 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)． 下面用數(shù)學歸納法予以證明： ①當n＝1時，命題顯然成立； ②假設(shè)當n＝k時命題成立，即有an＝k(k＋1)， 則當n＝k＋1時， 由歸納假設(shè)及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得 [ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]， 即a－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)][(k＋1)(k＋2)]＝0， 解得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)或ak＋1＝k(k－1)0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式； (2)證明通項公式的正確性． 解　(1)當n＝1時， 由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0. 所以a1＝－1(a1>0)． 當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0. 所以a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N*)． (2)證明：①由(1)知，當n＝1,2,3時，通項公式成立． ②假設(shè)當n＝k(k≥3，k∈N*)時，通項公式成立， 即ak＝－. 由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式并整理，得 a＋2ak＋1－2＝0， 解得ak＋1＝－(負值舍去)． 即當n＝k＋1時，通項公式也成立． 由①和②，可知對所有n∈N*，an＝－都成立．