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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第四節(jié) 數(shù) 列 求 和
考點(diǎn)一
公式法求和
[例1] (2013·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
[自主解答] (1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,
即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
因?yàn)閐<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.則
當(dāng)n≤11時(shí),
2、
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.
當(dāng)n≥12時(shí),
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=
【方法規(guī)律】
三類可以使用公式求和的數(shù)列
(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)加、減構(gòu)成的數(shù)列,它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解.
(2)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的,可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求解.
(3)等差數(shù)列各項(xiàng)加上絕對(duì)值,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式乘以(-1)n.
已知數(shù)列{a
3、n}的通項(xiàng)公式是an=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,求其前n項(xiàng)和Sn.
解:Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3,
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Sn=2×+ln 3=3n+ln 3-1;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3
=3n-ln 3-ln 2-1.[來(lái)源:]
綜上所述,Sn=
考點(diǎn)二
錯(cuò)位相減法求和
[例2] 已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27
4、,S4-b4=10.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,證明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).
[自主解答] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.
由條件,得方程組解得
所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*.
(2)證明:由(1),得
Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n,①
2Tn=2×22+5×23+…+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1.②
由①-②,得
-Tn=
5、2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1=-(3n-1)×2n+1-2=-(3n-4)×2n+1-8,
即Tn-8=(3n-4)×2n+1.
而當(dāng)n≥2時(shí),an-1bn+1=(3n-4)×2n+1,
所以Tn-8=an-1bn+1,n∈N*,n≥2.
【互動(dòng)探究】
在本例(2)中,若Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,求證:Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).
證明:由(1),得
Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,①
2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.②
②-①,得
Tn=-2
6、(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
=+2n+2-6n+2
=10×2n-6n-10.
而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.
【方法規(guī)律】
用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式;
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
[來(lái)源:]
7、
已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=.
(1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;[來(lái)源:]
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)由bn=,得bn+1=,
又∵an+1-3an=3n,
∴bn+1-bn=-===.[來(lái)源:]
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其首項(xiàng)b1=1,公差為.
∴bn=1+(n-1)=.
(2)an=3nbn=(n+2)×3n-1.
∴Sn=a1+a2+…+an
=3×1+4×3+…+(n+2)×3n-1,①
∴3Sn=3×3+4×32+…+(n+2)×3n.②
①
8、-②,得
-2Sn=3×1+3+32+…+3n-1-(n+2)×3n
=2+1+3+32+…+3n-1-(n+2)×3n
=-(n+2)×3n,
∴Sn=-+.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和
1.裂項(xiàng)相消法求和是每年高考的熱點(diǎn),題型多為解答題,難度適中,屬中檔題.
2.高考對(duì)裂項(xiàng)相消法的考查常有以下兩個(gè)命題角度:
(1)直接考查裂項(xiàng)相消法求和;
(2)與不等式相結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和.
[例3] (2013·廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn=a-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)證明
9、:a2=;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<.
[自主解答] (1)證明:∵an>0,令n=1,有4S1=a-4-1,即4a1=a-5,∴a2=.
(2)當(dāng)n≥2時(shí),4Sn=a-4n-1,4Sn-1=a-4(n-1)-1,兩式相減得4an=a-a-4,有a=(an+2)2,即an+1=an+2,∴{an}從第2項(xiàng)起,是公差為2的等差數(shù)列,
∴a5=a2+3×2=a2+6,a14=a2+12×2=a2+24,
又a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列,有a=a2·a14,
則(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3,
由(1)得a1=1,
10、又an+1=an+2(n≥2).
∴{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,
即an=1+(n-1)×2=2n-1.
(3)證明:由(2)得++…+
=++…+
=
=<.
裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)直接考查裂項(xiàng)相消法求和.解決此類問(wèn)題常用的裂項(xiàng)有:=-;=;=-.
(2)與不等式相結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和.解決此類問(wèn)題應(yīng)分兩步:第一步,求和;第二步,利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式.
1.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:a-(2n-1)an-2n=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(
11、1)由a-(2n-1)an-2n=0,
得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以an=2n.[來(lái)源:]
(2)已知an=2n,bn=,
則bn==.
Tn=
==.
2.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,cn=,記Sn=c1+c2+…+cn,證明:Sn<1.
解:(1)由題意a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1+2n-1an=,n∈N*,當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=.
兩式相減,得2n-1an=-=.
所以,當(dāng)n≥2時(shí),
12、an=.
當(dāng)n=1時(shí),a1=也滿足上式,
所求通項(xiàng)公式an=(n∈N*).
(2)證明:bn===,
cn==-,
Sn=c1+c2+…+cn=+++…+=1-<1.
—————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種思路——解決非等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題的兩種思路
(1)轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成.
(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的,往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等來(lái)求和.
3個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用“裂項(xiàng)相消法”和“錯(cuò)位相減法”應(yīng)注 意的問(wèn)題
(1)裂項(xiàng)相消法,分裂通項(xiàng)是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差.
(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后,是否只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng),后面也剩下兩項(xiàng),未消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn).
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比含有參數(shù),應(yīng)分q=1和q≠1兩種情況求解.