2018年秋高中數(shù)學 章末綜合測評2 圓錐曲線與方程 新人教A版選修1 -1.doc

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章末綜合測評(二)　圓錐曲線與方程 (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．雙曲線3x2－y2＝9的焦距為(　　) A.　　 B．2　　　 C．2　　 D．4 D　[方程化為標準方程為－＝1， ∴a2＝3，b2＝9， ∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.] 2．拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) 【導學號：97792116】 A. B. C．1 D. B　[拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，到雙曲線x2－＝1的漸近線x－y＝0的距離為＝，故選B.] 3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D.－2 A　[由題意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.] 4．雙曲線－＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為(　　) A. B. C. D. A　[拋物線的焦點為(1,0)，由題意知＝2. 即m＝，則n＝1－＝，從而mn＝.] 5．已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，過F2作橢圓的弦AB，若△AF1B的周長為16，橢圓的離心率e＝，則橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[由橢圓的定義知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，∴a＝4.又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝42－(2)2＝4，∴橢圓的方程為＋＝1.] 6．過拋物線y2＝8x的焦點，作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 B　[拋物線中2p＝8，p＝4，則焦點坐標為(2,0)，過焦點且傾斜角為45的直線方程為y＝x－2，由得x2－12x＋4＝0，則x1＋x2＝12(x1，x2為直線與拋物線兩個交點的橫坐標)．從而弦長為x1＋x2＋p＝12＋4＝16.] 7．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線過點(2，)，且雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4x的準線上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 D　[由雙曲線的漸近線y＝x過點(2，)，可得＝2.① 由雙曲線的焦點(－，0)在拋物線y2＝4x的準線x＝－上，可得＝.② 由①②解得a＝2，b＝，所以雙曲線的方程為－＝1.] 8．已知定點A(2,0)，它與拋物線y2＝x上的動點P連線的中點M的軌跡方程為(　　) A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1) C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1) D　[設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，則所以 由于y＝x0，所以4y2＝2x－2， 即y2＝(x－1)．] 9．已知θ是△ABC的一個內(nèi)角，且sin θ＋cos θ＝，則方程x2sin θ－y2cos θ＝1表示(　　) 【導學號：97792117】 A．焦點在x軸上的雙曲線 B．焦點在y軸上的雙曲線 C．焦點在x軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的橢圓 D　[∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝－.∵θ為△ABC的一個內(nèi)角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴>>0，∴方程x2sin θ－y2cos θ＝1是焦點在y軸上的橢圓．] 10．設(shè)圓錐曲線Г的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2.若曲線Г上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線Г的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 A　[設(shè)圓錐曲線的離心率為e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圓錐曲線為橢圓，則由橢圓的定義，得e＝＝＝；②若圓錐曲線為雙曲線，則由雙曲線的定義，得e＝＝＝.綜上，所求的離心率為或.故選A.] 11．已知點M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN相切于點B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點P，則點P的軌跡方程為(　　) A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x<－1) C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1) A　[設(shè)圓與直線PM，PN分別相切于E，F(xiàn)，則|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2，∴點P的軌跡是以M(－3,0)，N(3,0)為焦點的雙曲線的右支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.故雙曲線的方程是x2－＝1(x>1)．] 12．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 D　[因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b.所以y＝b，則在第一象限，雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為，所以四邊形的面積為4bb＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓C的方程為＋＝1，選D.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為________． 　[因為線段PF1的中點在y軸上，所以PF2與x軸垂直，且點P的坐標為，所以|PF2|＝，則|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝.] 14．如圖1所示，已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線l與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為________. 【導學號：97792118】 圖1 8　[由題意知拋物線的焦點為F(2,0)，準線l為x＝－2，∴K(－2,0)，設(shè)A(x0，y0)(y0＞0)，∵過點A作AB⊥l于B， ∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2， |BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2， ∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面積為|KF||y0|＝44＝8.] 15．如圖2等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上，則拋物線E的方程為________． 圖2 x2＝4y　[依題意知，|OB|＝8，∠BOy＝30.設(shè)B(x，y)，則x＝|OB|sin 30＝4，y＝|OB|cos 30＝12.因為點B(4，12)在拋物線E：x2＝2py(p>0)上，所以(4)2＝2p12，解得p＝2.故拋物線E的方程為x2＝4y.] 16．如圖3，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________． 圖3 ＋1　[如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30.易知△AF1F2為直角三角形，則|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，從而雙曲線的離心率e＝＝1＋.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知直線y＝x－4被拋物線y2＝2mx(m≠0)截得的弦長為6，求拋物線的標準方程． [解]　設(shè)直線與拋物線的交點為(x1，y1)，(x2，y2)． 由得x2－2(4＋m)x＋16＝0， 所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16， 所以弦長為 ＝ ＝2. 由2＝6. 解得m＝1或m＝－9. 經(jīng)檢驗，m＝1或m＝－9均符合題意． 所以所求拋物線的標準方程為y2＝2x或y2＝－18x. 18．(本小題滿分12分)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦點，P是橢圓上一點． (1)求|PF1||PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60，且△F1PF2的面積為，求b的值. 【導學號：97792119】 [解]　(1)|PF1||PF2|≤＝100(當且僅當|PF1|＝|PF2|時取等號)， ∴|PF1||PF2|的最大值為100. (2)S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60＝， ∴|PF1||PF2|＝，① 由題意知： ∴3|PF1||PF2|＝400－4c2.② 由①②得c＝6，∴b＝8. 19．(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在x軸上，半徑為4的圓C位于y軸右側(cè)，且與y軸相切． (1)求圓C的方程； (2)若橢圓＋＝1的離心率為，且左、右焦點為F1，F(xiàn)2.試探究在圓C上是否存在點P，使得△PF1F2為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由． [解]　(1)依題意，設(shè)圓的方程為(x－a)2＋y2＝16(a>0)． ∵圓與y軸相切，∴a＝4， ∴圓的方程為(x－4)2＋y2＝16. (2)∵橢圓＋＝1的離心率為， ∴e＝＝＝，解得b2＝9. ∴c＝＝4， ∴F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)， ∴F2(4,0)恰為圓心C， (ⅰ)過F2作x軸的垂線，交圓于點P1，P2(圖略)，則∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90，符合題意； (ⅱ)過F1可作圓的兩條切線，分別與圓相切于點P3，P4， 連接CP3，CP4(圖略)，則∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90，符合題意． 綜上，圓C上存在4個點P，使得△PF1F2為直角三角形． 20．(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． [解]　(1)由題意，得＝，又點(2，)在C上，所以＋＝1，兩方程聯(lián)立，可解得a2＝8，b2＝4. 所以C的方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 將y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. 所以直線OM的斜率kOM＝＝－，所以kOMk＝－. 故直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值． 21．(本小題滿分12分)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點． (1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； (2)求證：A為線段BM的中點． [解]　(1)由拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，得p＝. 所以拋物線C的方程為y2＝x. 拋物線C的焦點坐標為，準線方程為x＝－. (2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為點P的坐標為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標為(x1，x1)． 直線ON的方程為y＝x，點B的坐標為. 因為y1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1， 故A為線段BM的中點． 22．(本小題滿分12分)從橢圓＋＝1(a>b>0)上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，且它的長軸的一個端點A，短軸的一個端點B的連線AB平行于OM. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)Q是橢圓上任一點，F(xiàn)2是橢圓的右焦點，求∠F1QF2的取值范圍. 【導學號：97792120】 [解]　(1)依題意知F1點坐標為(－c,0)， 設(shè)M點坐標為(－c，y)． 若A點坐標為(－a,0)，則B點坐標為(0，－b)， 則直線AB的斜率k＝.(A點坐標為(a,0)，B點坐標為(0，b)時，同樣有k＝) 則有＝，∴y＝.① 又∵點M在橢圓＋＝1上， ∴＋＝1.② 由①②得＝，∴＝， 即橢圓的離心率為. (2)設(shè)|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ， 則m＋n＝2a，|F1F2|＝2c. 在△F1QF2中，cos θ＝ ＝＝－1≥－1＝0. 當且僅當m＝n時，等號成立， ∴0≤cos θ≤1，∴θ∈. 即∠F1QF2的取值范圍是.