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課時作業(yè) 54 幾何概型
一、選擇題
1.(2018武漢調(diào)研)在長為16 cm的線段MN上任取一點P,以MP、NP為鄰邊作一矩形,則該矩形的面積大于60 cm2的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題考查幾何概型.設(shè)MP=x,則NP=16-x,由x(16-x)>60,解得6<x<10,所以所求概率P==,故選A.
答案:A
2.(2018貴陽一模)已知函數(shù)f(x)=kx+1,其中實數(shù)k的值隨機選自區(qū)間[-2,1],則對任意的x∈[0,1],f(x)≥0的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:當x=0時,k∈[-2,1];當x∈(0,1]時,k≥-,而x∈(0,1]?-∈(-∞,-1],故k≥-1,從而k∈[-1,1].因此所求概率為=.故選C.
答案:C
3.(2018湖南省五市十校高三聯(lián)考)在矩形ABCD中,AB=2AD,在CD上任取一點P,△ABP的最大邊是AB的概率是( )
A. B.
C.-1 D.-1
解析:分別以A,B為圓心,AB的長為半徑畫弧,交CD于P1,P2,則當P在線段P1P2間運動時,能使得△ABP的最大邊是AB,易得=-1,即△ABP的最大邊是AB的概率是-1.
答案:D
4.(2018武漢市武昌區(qū)調(diào)研)在區(qū)間[0,1]上隨機取一個數(shù)x,則事件“l(fā)og0.5(4x-3)≥0”發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:因為log0.5(4x-3)≥0,所以0<4x-3≤1,即
成立的概率為( )
A. B.
C. D.1
解析:依題意,當θ∈[0,π]時,θ+∈[,],由sin>得≤θ+<,0≤θ<.因此,所求的概率等于π=,選B.
答案:B
7.(2018深圳調(diào)研)設(shè)實數(shù)a∈(0,1),則函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+a2+1有零點的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:本題考查幾何概型.由函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+a2+1有零點,可得Δ=(2a+1)2-4(a2+1)=4a-3≥0,解得a≥,即有≤a<1,結(jié)合幾何概型的概率計算公式可得所求的概率為P==,故選D.
答案:D
8.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為( )
A. B.1-
C. D.1-
解析:點P到點O的距離大于1的點位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球外.記“點P到點O的距離大于1”為事件M,則P(M)==1-.
答案:B
9.(2018安徽淮南一模)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著,也是古代東方數(shù)學的代表作.書中有如下問題:“今有勾八步,股一十五步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)投豆子,則豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:依題意,直角三角形的斜邊長為17.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則由等面積法,可得815=(8+15+17r),解得r=3,∴向此三角形內(nèi)投豆子,豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是P==.
答案:A
10.(2018太原模擬)如圖,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個大正方形,中間空出一個小正方形組成的圖形,若在大正方形內(nèi)隨機取一點,該點落在小正方形的概率為,則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
解析:本題考查幾何概型.設(shè)大正方形邊長為a,直角三角形中較大銳角為θ,θ∈,則小正方形的面積為a2-4acosθasinθ=a2-a2sin2θ,則由題意,得=,解得sin2θ=.因為θ∈,所以sinθ+cosθ==?、?,sinθ-cosθ==?、?由①+②解得sinθ=,故選B.
答案:B
二、填空題
11.(2018黃山一模)向面積為S的△ABC內(nèi)任意投擲一點P,則△PBC的面積小于的概率為________.
解析:∵S△PBC
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