2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.1 比較法教案 新人教A版選修4-5.docx
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2.1 比較法 一、教學(xué)目標(biāo) 1.理解比較法證明不等式的依據(jù). 2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟. 3.通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式,培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用. 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 掌握利用比較法證明不等式的一般步驟. 四、教學(xué)難點(diǎn) 通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式,培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用. 五、教學(xué)過程 (一)導(dǎo)入新課 已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b. 【證明】 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0, 即2a3-b3≥2ab2-a2b. (二)講授新課 教材整理1 作差比較法 1.理論依據(jù):①a>b? ;②a=b?a-b=0;③a<b? . 2.定義:要證明a>b,轉(zhuǎn)化為證明 ,這種方法稱為作差比較法. 3.步驟:① ;②變形;③ ;④下結(jié)論. 教材整理2 作商比較法 1.理論依據(jù):當(dāng)b>0時(shí),①a>b? ;②a<b?<1;③a=b?=1. 2.定義:證明a>b(b>0),只要轉(zhuǎn)化為證明 ,這種方法稱為作商比較法. 3.步驟:①作商;②變形;③判斷商與1大小;④下結(jié)論. (三)重難點(diǎn)精講 題型一、作商比較法證明不等式 例1已知a>0,b>0且a≠b,求證:aabb>(ab). 【精彩點(diǎn)撥】 →→→ 【自主解答】 ∵a>0,b>0,∴aabb>0,(ab)>0, 作商=aab=. ∵a≠b,∴當(dāng)a>b>0時(shí), >1且>0,∴>1, 而(ab)>0,∴aabb>(ab). 當(dāng)b>a>0時(shí),0<<1且<0,∴>1, 而(ab)>0,∴aabb>(ab). 綜上可知a>0,b>0且a≠b時(shí),有aabb>(ab). 規(guī)律總結(jié): 1.當(dāng)不等式的兩端為指數(shù)式時(shí),可作商證明不等式. 2.運(yùn)用a>b?>1證明不等式時(shí),一定注意b>0是前提條件.若符號(hào)不能確定,應(yīng)注意分類討論. [再練一題] 1.已知m,n∈R+,求證:≥. 【證明】 因?yàn)閙,n∈R+, 所以≥=, 令ω==mn=, 則:①當(dāng)m>n>0時(shí),>1,m-n>0,則ω>1. ②當(dāng)m=n時(shí),ω=1. ③當(dāng)n>m>0時(shí),0<<1,m-n<0,則ω>1. 故對(duì)任意的m,n∈R+都有ω≥1. 即≥, 所以≥. 題型二、比較法的實(shí)際應(yīng)用 例2 甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn),甲有一半時(shí)間以速度m行走,另一半時(shí)間以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走.如果m≠n,問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)? 【精彩點(diǎn)撥】 設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是s,甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2,要回答題目中的問題,只要比較t1,t2的大小就可以了. 【自主解答】 設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s,甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2,依題意有:m+n=s,+=t2. ∴t1=,t2=, ∴t1-t2=-= =-. 其中s,m,n都是正數(shù),且m≠n, ∴t1-t2<0,即t1<t2, 從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn). 規(guī)律總結(jié): 1.應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí),關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決,也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵. 2.在實(shí)際應(yīng)用不等式問題時(shí),常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系.若是選擇題或填空題,則可用特殊值加以判斷. [再練一題] 2.通過水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),如果水管截面(指橫截面)的周長(zhǎng)相等,試問:截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大? 【解】 設(shè)截面的周長(zhǎng)為l,依題意知,截面是圓的水管的截面面積為π2,截面是正方形的水管的截面面積為. ∵π-==. 由于l>0,0<π<4,∴>0, ∴π>. 因此,通過水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),如果水管的周長(zhǎng)相等,那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 題型三、作差比較法 例3已知a,b∈R,求證:a2+b2+1≥ab+a+b. 【精彩點(diǎn)撥】 此不等式作差后是含有兩個(gè)字母的二次式,既可配成平方和的形式,也可根據(jù)二次三項(xiàng)式的判別式確定符號(hào). 【自主解答】 法一 ∵a2+b2-ab-a-b+1 =[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0, ∴a2+b2+1≥ab+a+b. 法二 a2+b2-ab-a-b+1=a2-(b+1)a+b2-b+1, 對(duì)于a的二次三項(xiàng)式, Δ=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0. ∴a2-(b+1)a+b2-b+1≥0, 故a2+b2+1≥ab+a+b. 規(guī)律總結(jié): 1.作差比較法中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不用考慮差值的多少. 2.因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷“差式”的符號(hào),常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù),或幾個(gè)因式積的形式,當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí),可利用“Δ”判定符號(hào). [再練一題] 3.已知a>b>c,證明:a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. 【證明】 ∵a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=(a2b-bc2)+(b2c-ab2)+(c2a-ca2) =b(a2-c2)+b2(c-a)+ac(c-a) =(a-c)(ba+bc-b2-ac)=(a-c)(a-b)(b-c). ∵a>b>c,∴a-c>0,a-b>0,b-c>0, ∴(a-c)(a-b)(b-c)>0, 即a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2. (四)歸納小結(jié) 比較法— (五)隨堂檢測(cè) 1.設(shè)t=a+2b,s=a+b2+1,則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是( ) A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s 【解析】 s-t=(a+b2+1)-(a+2b)=(b-1)2≥0, ∴s≥t. 【答案】 D 2.已知a>0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),則P,Q的大小關(guān)系是( ) A.P>Q B.P<Q C.P=Q D.大小不確定 【解析】 P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga. 當(dāng)0<a<1時(shí),0<a3+1<a2+1,則0<<1, ∴l(xiāng)oga>0,即P-Q>0,∴P>Q. 當(dāng)a>1時(shí),a3+1>a2+1>0,>1, ∴l(xiāng)oga>0,即P-Q>0,∴P>Q. 綜上總有P>Q,故選A. 【答案】 A 3.設(shè)a,b,m均為正數(shù),且<,則a與b的大小關(guān)系是________. 【解析】?。剑?. 又a,b,m為正數(shù), ∴a(a+m)>0,m>0,因此a-b>0. 即a>b. 【答案】 a>b 六、板書設(shè)計(jì) 2.1 比較法 教材整理1 作差比較法 教材整理2 作商比較法 例1: 例2: 例3: 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí):2.1比較法 八、教學(xué)反思- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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