新版全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題17 推理與證明含解析
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2、 1 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題17 推理與證明(含解析) 一、選擇題 1.(文)將正奇數(shù)1,3,5,7,…排成五列(如下表),按此表的排列規(guī)律,89所在的位置是( ) 第 第 第 第 第 一 二 三 四 五 列 列 列 列 列 1 3 5 7 15 13 11 9 17
3、 19 21 23 31 29 27 25 … A.第一列 B.第二列 C.第三列 D.第四列 [答案] D [解析] 正奇數(shù)從小到大排,則89位居第45位,而45=4×11+1,故89位于第四列. (理)(20xx·廣州市綜合測試)將正偶數(shù)2,4,6,8,…按下表的方式進(jìn)行排列,記aij表示第i行第j列的數(shù),若aij=20xx,則i+j的值為( ) 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4
4、行 32 30 28 26 第5行 34 36 38 40 … … … … … … A.257 B.256 C.254 D.253 [答案] C [解析] 依題意,注意到題中的數(shù)表中,奇數(shù)行空置第1列,偶數(shù)行空置第5列;且自左向右,奇數(shù)行的數(shù)字由小到大排列,偶數(shù)行的數(shù)字由大到小排列;20xx是數(shù)列{2n}的第1007項(xiàng),且1007=4×251+3,因此20xx位于題中的數(shù)表的第252行第2列,于是有i+j=252+2=254,故選C. [方法點(diǎn)撥] 歸納推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),推出這類事物的所有對象都具有這樣
5、性質(zhì)的推理,叫做歸納推理,歸納是由特殊到一般的推理. 歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理,在進(jìn)行歸納時(shí),要先根據(jù)已知的部分個(gè)體,把它們適當(dāng)變形,使其具有統(tǒng)一的表現(xiàn)形式,便于觀察發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,找出它們之間的聯(lián)系,從而歸納出一般結(jié)論. 2.(20xx·廣東文,6)若直線l1與l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是( ) A.l與l1,l2都不相交 B.l與l1,l2都相交 C.l至多與l1,l2中的一條相交 D.l至少與l1,l2中的一條相交 [答案] D [解析] 考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系. 若直線l1和l2是異面直
6、線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,假如l與l1、l2都不相交,則l∥l1,l∥l2,∴l(xiāng)1∥l2,與l1、l2異面矛盾,因此l至少與l1,l2中的一條相交,故選D. [方法點(diǎn)撥] 演繹推理 根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)導(dǎo)出特殊性命題為真的推理叫做演繹推理.演繹推理是由一般性命題到特殊性命題的推理. (1)演繹推理的特點(diǎn) 當(dāng)前提為真時(shí),結(jié)論必然為真. (2)演繹推理的一般模式——“三段論” ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷. 3.(文)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn
7、}(bn=)也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知,若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,則數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達(dá)式應(yīng)為( ) A.dn= B.dn= C.dn= D.dn= [答案] D [解析] 通過審題觀察,對比分析得到: 已知 等差數(shù)列{an} 前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an bn= 算術(shù)平均 bn成等差 類比項(xiàng) 等比數(shù) 列{cn} 前n項(xiàng)積Tn=c1c2…cn dn= 幾何 平均 dn成等比 故選D. [方法點(diǎn)撥] 類比推理 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理叫做類比
8、推理,類比推理是由特殊到特殊的推理. 進(jìn)行類比推理時(shí),要抓住類比對象之間相似的性質(zhì),如等差數(shù)列的和對應(yīng)的可能是等比數(shù)列的和,更可能是等比數(shù)列的積,再結(jié)合其他要求進(jìn)一步確定類比項(xiàng). (理)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,利用倒序求和的方法,可將Sn表示成首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的一個(gè)關(guān)系式,即公式Sn=;類似地,記等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,且bn>0(n∈N*),試類比等差數(shù)列求和的方法,可將Tn表示成首項(xiàng)b1、末項(xiàng)bn與項(xiàng)數(shù)n的一個(gè)關(guān)系式,即公式Tn=( ) A. B. C. D.(b1bn) [答案] D [解析] 利用等比數(shù)列的性質(zhì):若m+n=p+q,則bm
9、·bn=bp·bq,利用倒序求積方法有 兩式相乘得T=(b1bn)n,即Tn=(b1bn). 4.觀察下圖: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ………… 則第( )行的各數(shù)之和等于20xx2.( ) A.20xx B.20xx C.1006 D.1005 [答案] C [解析] 由題設(shè)圖知,第一行各數(shù)和為1;第二行各數(shù)和為9=32;第三行各數(shù)和為25=52;第四行各數(shù)和為49=72;…,∴第n行各數(shù)和為(2n-1)2,令2n-1=20xx,解得n=1006. [點(diǎn)評] 觀察可見,第1行有1個(gè)數(shù),第2行從2開始有3個(gè)數(shù),第3行從3
10、開始有5個(gè)數(shù),第4行從4開始有7個(gè)數(shù),…,第n行從n開始,有2n-1個(gè)數(shù),因此第n行各數(shù)的和為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)==(2n-1)2. 5.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是( ) A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的 [答案] C [解析] 原問題的解法為等面積法,即S=ah=3×ar?r=h,類比問題的解法應(yīng)為等體積法,V=Sh=4×Sr?r=h,即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的,所以應(yīng)選C. 6.(文
11、)用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是( ) A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根 [答案] A [解析] 至少有一個(gè)實(shí)根的否定為:沒有實(shí)根. (理)①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q≥2,②已知a、b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1.以下結(jié)論正確的是(
12、 ) A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B.①與②的假設(shè)都正確 C.①的假設(shè)正確;②的假設(shè)錯(cuò)誤 D.①的假設(shè)錯(cuò)誤;②的假設(shè)正確 [答案] D [解析] 反證法的實(shí)質(zhì)是命題的等價(jià)性,因?yàn)槊}p與命題的否定?p真假相對,故直接證明困難時(shí),可用反證法.故選D. [方法點(diǎn)撥] 1.反證法的定義 一般地,由證明p?q轉(zhuǎn)向證明:綈q?r?…?t,t與假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾.從而判斷綈q為假,推出q為真的方法,叫做反證法. 2.反證法的特點(diǎn) 先假設(shè)原命題不成立,再在正確的推理下得出矛盾,這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、公式或已被證明了的結(jié)論,或與公認(rèn)的簡單事
13、實(shí)等矛盾. 7.(文)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)△ABC的頂點(diǎn)分別為A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),點(diǎn)P(0,p)在線段AO上(異于端點(diǎn)),設(shè)a、b、c、p均為非零實(shí)數(shù),直線BP、CP分別交AC、AB于點(diǎn)E、F,一同學(xué)已正確算出OE的方程:(-)x+(-)y=0,則OF的方程為:(________)x+(-)y=0.( ) A.- B.- C.- D.- [答案] C [分析] 觀察E,F(xiàn)兩點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn),E、F兩點(diǎn)的特征類似,E是BP與AC的交點(diǎn),F(xiàn)是CP與AB的交點(diǎn),故直線OE與OF的方程應(yīng)具有類似的特征,而y的系數(shù)相同,故只有x的系數(shù)滿足某種“對稱性”,據(jù)此可作猜測.
14、 [解析] 方法1:類比法 E在AC上,OE的方程為 (-)x+(-)y=0. F在AB上,它們的區(qū)別在于B、C互換. 因而OF的方程應(yīng)為 (-)x+(-)y=0. ∴括號內(nèi)應(yīng)填:-. 方法2:畫草圖如右,由對稱性可猜想填-.事實(shí)上,由截距式可得直線AB:+=1,直線AP:+=1,兩式相減得(-)x+(-)y=0, 顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程,又原點(diǎn)O也滿足此方程,故為所求直線OF的方程. [方法點(diǎn)撥] 類比推理是由特殊到特殊的推理,是兩類類似的對象之間的推理,其中一個(gè)對象具有某個(gè)性質(zhì),則另一個(gè)對象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時(shí),要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程,然
15、后仿照推導(dǎo)類比對象的性質(zhì). (理)在Rt△ABC中,CA⊥CB,斜邊AB上的高為h1,則=+;類比此性質(zhì),如圖,在四面體P-ABC中,若PA、PB、PC兩兩垂直,底面ABC上的高為h,則得到的正確結(jié)論為( ) A.=++ B.h2=PA2+PB2+PC2 C.=++ D.=++ [答案] D [解析] 本題考查了合情推理的能力. 連接CO并延長交AB于點(diǎn)D,連接PD, 由已知可得PC⊥PD,在直角三角形PDC中,DC·h=PD·PC, 則·h=PD·PC, 所以= =+. 容易知道AB⊥平面PDC, 所以AB⊥PD, 在直角三角形APB中,AB·PD=P
16、A·PB, 所以·PD=PA·PB, ==+,故=++.(也可以由等體積法得到). [點(diǎn)評] 上述解答完整的給出了結(jié)論=++的證明過程,如果注意到所給結(jié)論是一個(gè)真命題,可直接用作條件,則在Rt△PAB中,有=+,在Rt△PDC中,有=+,即可得出結(jié)論. 8.(文)正方形ABCD的邊長是a,依次連接正方形ABCD各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形,再依次連接新正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形,依次得到一系列的正方形,如圖所示.現(xiàn)有一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā),沿正方形的邊逆時(shí)針方向爬行,每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí),沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針方向爬行,如此下去,爬行了10條線段.則這10條線段的長度的平方和是(
17、 ) A.a(chǎn)2 B.a(chǎn)2 C.a(chǎn)2 D.a(chǎn)2 [答案] A [解析] 由題可知,這只小蟲爬行的第一段長度的平方為a=(a)2=a2,第二段長度的平方為a=(a)2=a2,…,從而可知,小蟲爬行的線段長度的平方可以構(gòu)成以a=a2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為S10==. (理)對于大于1的自然數(shù)m的三次冪可以用技術(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”:23=,33=,43=,…,仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59,則m=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [答案] B [解析] 由23,33,43的“分裂”規(guī)律可知m3的分裂共有m項(xiàng),它
18、們都是連續(xù)的奇數(shù),其第一個(gè)奇數(shù)為(m-2)(m+1)+3,當(dāng)m=8時(shí),第一個(gè)奇數(shù)為57,故m=8,此時(shí)83=57+59+61+63+65+67+69+71. 二、填空題 9.(文)(20xx·南昌市二模)觀察下面數(shù)表: 1, 3,5, 7,9,11,13, 15,17,19,21,23,25,27,29. 設(shè)1027是該表第m行的第n個(gè)數(shù),則m+n等于________. [答案] 13 [解析] 由數(shù)表知第P行最后一個(gè)數(shù)為第SP個(gè)奇數(shù),其中SP=1+2+22+…+2P-1=2P-1,易得第9行最后一個(gè)奇數(shù)為2(29-1)-1=1021,故1027為第10行的第3個(gè)數(shù),∴m+n
19、=13. (理)(20xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)已知不等式1+<,1++<,1+++<,…,照此規(guī)律,總結(jié)出第n(n∈N*)個(gè)不等式為________. [答案] 1++++…+<(n∈N*) [解析] 由于1+<,1++<,1+++<,所以可以寫為1+<,1++<,1+++<,照此規(guī)律,所以第n個(gè)不等式為1++++…+<. 10.(文)已知2+=22×,3+=32×,4+=42×,…,若9+=92×(a、b為正整數(shù)),則a+b=________. [答案] 89 [解析] 觀察前三式的特點(diǎn)可知,3=22-1,8=32-1,15=42-1,故其一般規(guī)律為n+=n2×,此式顯然對任意n
20、∈N,n≥2都成立,故當(dāng)n=9時(shí),此式為9+=81×,∴a=80,b=9,a+b=89. (理)觀察下列等式 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為________. [答案] 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·(n∈N*) [解析] 觀察上述各式等號左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn),左邊的項(xiàng)數(shù)每次加1,故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng),每項(xiàng)所含的底數(shù)的絕對值也增加1,依次為1,2,3,…,n,指數(shù)都是2,符號成正負(fù)交替出現(xiàn)可以用(-1)n+1表示,等式的右邊數(shù)的絕對值是左邊項(xiàng)的底數(shù)的和,故等
21、式的右邊可以表示為 (-1)n+1·,所以第n個(gè)式子可為12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·(n∈N*). 三、解答題 11.(文)(20xx·江蘇,16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E. 求證:(1)DE∥平面AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. [分析] 考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理. (1)由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面BB1C1C為平行四邊形,因此點(diǎn)E為B1C的中點(diǎn),從而由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC,再由線面平行的判定定理得DE∥平面AA1C1C;(2)因?yàn)橹比?/p>
22、棱柱ABC-A1B1C1中BC=CC1,所以側(cè)面BB1C1C為正方形,因此BC1⊥B1C,又AC⊥BC,AC⊥CC1(可由直三棱柱推導(dǎo)),因此由線面垂直的判定定理得AC⊥平面BB1C1C,從而AC⊥BC1,再由線面垂直的判定定理得BC1⊥平面AB1C,進(jìn)而可得BC1⊥AB1. [證明] (1)由題意知,E為B1C的中點(diǎn), 又D為AB1的中點(diǎn),因此DE∥AC. 又因?yàn)镈E?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C, 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC,所以AC⊥CC1. 又因?yàn)锳C⊥BC,C
23、C1?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,BC∩CC1=C, 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1,所以B1C⊥AC. 因?yàn)锽C=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C,B1C?平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1?平面B1AC,所以BC1⊥AB1. (理)(20xx·商丘市二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=. (1)求證:AB⊥PC; (2)求二面角B-PC-D的余弦值. [解析] (1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接
24、PO,CO,AC. ∵AP=BP,∴PO⊥AB. 又四邊形ABCD是菱形,且∠BCD=120°, ∴△ACB是等邊三角形,∴CO⊥AB. 又CO∩PO=O,∴AB⊥平面PCO, 又PC?平面PCO,∴AB⊥PC. (2)由AB=PC=2,AP=BP=,易求得PO=1,OC=, ∴OP2+OC2=PC2,OP⊥OC. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)C,OB,OP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0,1),D(,-2,0), ∴=(,-1,0),=(,0,-1),=(0,2,0). 設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量為n1=(1,y
25、,z),則n1⊥,n1⊥, ∴,∴z=,y=0,∴n1=(1,0,). 設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量為n2=(1,b,c),則n2⊥,n2⊥, ∴,∴c=,b=, ∴n2=(1,,). ∴cos〈n1,n2〉===, ∵二面角B-PC-D為鈍角, ∴二面角B-PC-D的余弦值為-. 12.(文)(20xx·昆明質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an++1. (1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,證明:Sn<. [解析] (1)∵- =an++1+-an- =-+1=1. ∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列. 又a1
26、+1=1,故an+=n.
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n-.
(2)由(1)知an=n-,則=1-,
數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n-
∵>=-.
∴n- 27、}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和即可得到其對應(yīng)前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式.
[解析] (1)由條件,對任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,(n∈N*),
因而對任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3,(n∈N*),兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,(n≥2),
又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,
故對一切n∈N*,an+2=3an.
(2)由(1)知,an≠0,所以=3,于是數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng) a1=1,公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)a2=2,公比為3的等比數(shù)列,所以a2 28、n-1=3n-1,a2n=2×3n-1,
于是S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)
=3(1+3+…+3n-1) =
從而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=(5×3n-2-1),
綜上所述,Sn=.
[方法點(diǎn)撥] 直接證明
從命題的條件或結(jié)論出發(fā),根據(jù)已知的定義、公理、定理,直接推證結(jié)論的真實(shí)性的證明稱為直接證明.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種方法,也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的思維方法.
(1)綜合法
從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā), 29、經(jīng)過逐步的推理論證,最后達(dá)到待證的結(jié)論,這種證明方法叫綜合法.也叫順推證法或由因?qū)Чǎ?
(2)分析法
從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知的條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫分析法.也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.
13.(文)(20xx·邯鄲市二模)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-a(x-2),g(x)=ex.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)過原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1,l2,且l1,l2的斜率互為倒數(shù),試證明:a=0或-
30、′(x)=-a=(x>0)
①當(dāng)a≤0時(shí),對一切x>0,恒有f′(x)>0,f(x)的單增區(qū)間為(0,+∞);
②當(dāng)a>0時(shí),x∈時(shí),f′(x)>0;x∈時(shí),f′(x)<0.
∴f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(2)設(shè)過原點(diǎn)與函數(shù)f(x),g(x)相切的直線分別為l1:y=k1x,l2:y=k2x,
切點(diǎn)分別為A(x1,lnx1-ax1+2a),B(x2,ex2),
∵g′(x)=ex,∴k2=ex2=,∴x2=1,k2=e,∴k1=
又f′(x)=-a,∴k1=-a==,
得a=-,并將它代入=中,
可得lnx1-1+-=0
設(shè)h(x)=lnx-1+-,則h′(x)=-=
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