新編高考數(shù)學(xué)理二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練：第一部分 專(zhuān)題三 三角函數(shù)及解三角形 132 Word版含答案

限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練九　三角恒等變換與解三角形 一、選擇題(本題共6小題，每小題5分，共30分) 1．若＝，則sin αcos α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D. 解析：選B.解法一：由＝，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝＝＝－，故選B. 解法二：由題意得＝，即 4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－，故選B. 2．已知向量a＝，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，則sin＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選B.∵a⊥b， ∴a·b＝4sin＋4cos α－ ＝2sin α＋6cos α－ ＝4sin－＝0， ∴sin＝. ∴sin＝－sin＝－. 3．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，則tan A·tan B＝(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 解析：選B.由條件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cos C＝0，所以3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0，所以3cos Acos B＋3sin Asin B－5cos Acos B＋5sin Asin B＝0，即cos Acos B＝4sin Asin B，所以tan A·tan B＝＝. 4．已知sin＝，則cos的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選D.cos＝2cos2－1 ＝2sin2－1＝2×－1＝－. 5．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝. 6．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos C＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，則角B為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因?yàn)閍cos C＋c＝b，所以sin Acos C＋·sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C，因?yàn)閟in C≠0，所以cos A＝，因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，知1＝b2＋c2－bc， 聯(lián)立解得c＝，b＝1，由＝，得sin B＝＝＝，∵b＜c，∴B＜C，則B＝，故選B. 二、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分) 7．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，a＝3，B＝，則b＝________. 解析：由題意可得S＝acsin B，解得c＝1，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－3＝7，故b＝. 答案： 8．已知tan(3π－x)＝2，則＝________. 解析：∵tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tan x＝2，故tan x＝－2. 所以＝＝＝－3. 答案：－3 9．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，則sin α＋cos α的值為_(kāi)_______． 解析：由＜β＜α＜知π＜α＋β＜， ??0＜α－β＜. 根據(jù)已知得sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－＝.因?yàn)椋鸡粒迹詓in α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝. 答案： 三、解答題(本題共3小題，每小題12分，共36分) 10．已知函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值； (2)若f＝－，α∈，求sin的值． 解：(1)因?yàn)閒(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，而y1＝a＋2cos2x為偶函數(shù)，所以y2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)， 由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1. (2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因?yàn)閒＝－sin α＝－， 即sin α＝，又α∈，從而cos α＝－， 所以sin＝sin αcos＋cos αsin ＝×＋×＝. 11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a－c＝b，sin B＝sin C. (1)求cos A的值； (2)求cos的值． 解：(1)在△ABC中，由＝，及 sin B＝sin C，可得b＝c. 由a－c＝b，得a＝2c. 所以cos A＝＝＝. (2)在△ABC中，由cos A＝，可得sin A＝. 于是cos 2A＝2cos2A－1＝－，sin 2A＝2sin A·cos A＝. 所以cos＝cos 2A·cos＋sin 2A·sin＝. 12．如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝. (1)求△ACD的面積； (2)若BC＝2，求AB的長(zhǎng)． 解：(1)因?yàn)椤螪＝2∠B，cos B＝， 所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－. 因?yàn)镈∈(0，π)， 所以sin D＝＝. 因?yàn)锳D＝1，CD＝3， 所以△ACD的面積S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝. (2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12， 所以AC＝2. 因?yàn)锽C＝2，＝， 所以＝＝＝＝， 所以AB＝4.