2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.2 均值不等式學(xué)案 新人教B版必修5.doc

《2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.2 均值不等式學(xué)案 新人教B版必修5.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.2 均值不等式學(xué)案 新人教B版必修5.doc（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

3.2　均值不等式 1.了解均值不等式的證明過(guò)程. 2.能利用均值不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代數(shù)式的大小.(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 3.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.(重點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　均值不等式 閱讀教材P69～P71，完成下列問(wèn)題. 1.重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”). 2.均值不等式≤ (1)均值不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào). 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) (1)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為； (2)均值不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.(　　) (2)若a≠0，則a＋≥2＝4.(　　) (3)若a>0，b>0，則ab≤.(　　) (4)兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(　　) (5)若ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為2.(　　) 【解析】　(1).任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時(shí)，不等式a＋b≥2成立. (2).只有當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立. (3)√.因?yàn)椤?，所以ab≤. (4).因?yàn)椴坏仁絘2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；而≥成立的條件是a，b均為非負(fù)實(shí)數(shù). (5)√.因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，故a＋b的最小值為2. 【答案】　(1)　(2)　(3)√　(4)　(5)√ 教材整理2　均值不等式的應(yīng)用 閱讀教材P70例1～P71例3，完成下列問(wèn)題. 用均值不等式求最值的規(guī)律 (1)兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值. (2)兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值. 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值.(　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，則ab≤4.(　　) (3)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x＋≥2，所以函數(shù)f(x)的最小值是2.(　　) (4)如果log3m＋log3n＝4，則m＋n的最小值為9.(　　) (5)若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，則xy的最大值為.(　　) 【解析】　(1)√.由均值不等式求最值條件可知. (2)√.因?yàn)椤埽剑?，所以ab≤4. (3).因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，x－1>0，則f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)的取到最小值3. (4).因?yàn)橛蒷og3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而≥＝9， 所以m＋n≥18，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝9時(shí)， m＋n取到最小值18. (5)√.因?yàn)閤，y∈R＋，而4xy≤＝＝，所以xy≤. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào). 【答案】　(1)√　(2)√　(3)　(4)　(5)√ [小組合作型] 利用均值不等式比較代數(shù)式的大小 　(1)已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是______. (2)給出下列命題： ①若x∈R，則x＋≥2； ②若a＞0，b＞0，則lg a＋lg b≥2； ③若a＜0，b＜0，則ab＋≥2； ④不等式＋≥2成立的條件是x＞0且y＞0.其中正確命題的序號(hào)是________. 【精彩點(diǎn)撥】　(1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c兩兩乘積的和，聯(lián)想均值不等式求解. (2)解本小題關(guān)鍵是弄清均值不等式適用的條件. 【自主解答】　(1)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q. (2)只有當(dāng)x>0時(shí)，才能由均值不等式得到x＋≥2＝2，故①錯(cuò)誤；當(dāng)a>0，b>0時(shí)，lg a∈R，lg b∈R，不一定有l(wèi)g a>0，lg b>0，故lg a＋lg b≥2不一定成立，故②錯(cuò)誤；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，ab>0，由均值不等式可得ab＋≥2＝2，故③正確；由均值不等式可知，當(dāng)>0，>0時(shí)，有＋≥2＝2成立，這時(shí)只需x與y同號(hào)即可，故④錯(cuò)誤. 【答案】　(1)p>q　(2)③ 1.在理解均值不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件. 2.運(yùn)用均值不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2成立的條件是a>0，b>0，等號(hào)成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號(hào)成立的條件是a＝b. [再練一題] 1.設(shè)a>0，b>0，試比較，，，的大小，并說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082044】 【解】　∵a>0，b>0，∴＋≥， 即≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))， 又＝ ≤＝， ∴≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)， 而≤，故≥≥≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立). 不等式的證明 　已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù). 求證：a＋b＋c>＋＋. 【精彩點(diǎn)撥】　 【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故等號(hào)不成立. ∴a＋b＋c>＋＋. 1.所證不等式一端出現(xiàn)“和式”，而另一端出現(xiàn)“積式”，這便是應(yīng)用均值不等式的“題眼”.可嘗試用均值不等式證明. 2.利用均值不等式證明不等式的策略 從已證不等式及問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)及有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. 3.利用均值不等式證明不等式的注意點(diǎn) (1)多次使用均值不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立； (2)累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用； (3)對(duì)不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，形成均值不等式模型，再使用. [再練一題] 2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：≥9. 【證明】　法一：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋. 故＝＝ 5＋2≥5＋4＝9. 所以≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)). 法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋， 因?yàn)閍，b為正數(shù)，a＋b＝1， 所以ab≤＝，于是≥4，≥8. 因此≥1＋8＝9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立). 均值不等式的實(shí)際應(yīng)用 　如圖321，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成. 現(xiàn)有36 m長(zhǎng)的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？ 圖321 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：18082045】 【精彩點(diǎn)撥】　設(shè)每間虎籠長(zhǎng)x m，寬y m，則問(wèn)題是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值. 【自主解答】　設(shè)每間虎籠長(zhǎng)x m，寬y m， 則由條件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy. 法一：由于2x＋3y≥2＝2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)，等號(hào)成立. 由解得 故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大. 法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. ∵x>0， ∴00.∴S≤＝. 當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)，即y＝3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x＝4.5. 故每間虎籠長(zhǎng)為4.5 m，寬為3 m時(shí)，可使每間虎籠面積最大. 1.在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下思路和方法： (1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 2.對(duì)于函數(shù)y＝x＋(k>0)，可以證明x∈(0，]及[－，0)上均為減函數(shù)，在[，＋∞)及(－∞，－]上都是增函數(shù).求此函數(shù)的最值時(shí)，若所給的范圍含，可用均值不等式，不包含就用函數(shù)的單調(diào)性. [再練一題] 3.某漁業(yè)公司今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬(wàn)元.從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上年增加4萬(wàn)元.該船每年捕撈總收入50萬(wàn)元. (1)問(wèn)捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？ (2)問(wèn)捕撈幾年后的平均利潤(rùn)最大，最大是多少？ 【解】　(1)設(shè)該船捕撈n年后的總盈利y萬(wàn)元，則 y＝50n－98－ ＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102， ∴當(dāng)捕撈10年后總盈利最大，最大是102萬(wàn)元. (2)年平均利潤(rùn)為＝－2 ≤－2＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝7時(shí)上式取等號(hào). ∴當(dāng)捕撈7年后年平均利潤(rùn)最大，最大是12萬(wàn)元. [探究共研型] 利用均值不等式求最值 探究1　由x2＋y2≥2xy知xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)“＝”成立，能說(shuō)xy的最大值是嗎？能說(shuō)x2＋y2的最小值為2xy嗎？ 【提示】　最值是一個(gè)定值(常數(shù))，而x2＋y2或2xy都隨x，y的變化而變化，不是定值，故上述說(shuō)法均錯(cuò)誤.要利用均值不等式≥(a，b∈R＋)求最值，必須保證一端是定值，方可使用. 探究2　小明同學(xué)初學(xué)利用均值不等式求最值時(shí)，是這樣進(jìn)行的： “因?yàn)閥＝x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x2＝1時(shí)“＝”號(hào)成立，所以y＝x＋的最小值為2.”你認(rèn)為他的求解正確嗎？為什么？ 【提示】　不正確.因?yàn)槔镁挡坏仁角笞钪?，必須滿足x與都是正數(shù)，而本題x可能為正，也可能為負(fù).所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正確解法應(yīng)為：當(dāng)x>0時(shí)，y＝x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取“＝”，y＝x＋的最小值是2；當(dāng)x<0時(shí)，y＝－≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝－1時(shí)，取“＝”，y＝x＋的最大值是－2. 探究3　已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以嗎？為什么？ “解：∵y＝＝x＋≥2＝4， ∴當(dāng)x≥3時(shí)，y＝的最值為4.” 【提示】　不可以，因?yàn)樵诶没静坏惹蠼庾钪禃r(shí)，雖然將所求代數(shù)式進(jìn)行變形，使其符合均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，但是必須符合“正”、“定”、“等”的條件，缺一不可.本解法忽略了等號(hào)成立的條件，即“＝”號(hào)不成立.本問(wèn)題可采用y＝x＋的單調(diào)性求解. 　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知00，求f(x)＝的最大值； (4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 【精彩點(diǎn)撥】　變形所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式，使用符合均值不等式的結(jié)構(gòu)特征. (1)4x－2＋＝4x－5＋＋3. (2)x(1－2x)＝2x(1－2x). (3)＝. (4)x＋y＝(x＋y)1＝(x＋y). 【自主解答】　(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立， 故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1. (2)∵00， ∴y＝2x(1－2x)≤＝＝. ∴當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x，即x＝時(shí)，ymax＝. (3)f(x)＝＝. ∵x>0，∴x＋≥2＝2， ∴f(x)≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立. (4)∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12時(shí)，上式取等號(hào). 故當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16. 1.本例題目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先對(duì)其變形. 2.應(yīng)用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的條件進(jìn)行，若具備這些條件，可直接運(yùn)用均值不等式，若不具備這些條件，則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃? 3.利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件.具體可歸納為三句話：一不正，用其相反數(shù)，改變不等號(hào)方向；二不定，應(yīng)湊出定和或定積；三不等，一般用單調(diào)性. [再練一題] 4.已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值等于(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】　∵a>0，b>0，∴2a＋b>0，∴要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.∴m≤9.故應(yīng)選B. 【答案】　B 1.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則(　　) A.ab≤ B.ab≥ C.a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3 【解析】　由a＋b＝2，得ab≤＝1，排除選項(xiàng)A，B.由≥2，得a2＋b2≥2. 【答案】　C 2.已知x＞1，y＞1且lg x＋lg y＝4，則lg xlg y的最大值是(　　) A.4　　　B.2　　　C.1　　　D. 【解析】　∵x＞1，y＞1，∴l(xiāng)g x＞0，lg y＞0，lg xlg y≤＝4，當(dāng)且僅當(dāng)lg x＝lg y＝2，即x＝y(tǒng)＝100時(shí)取等號(hào). 【答案】　A 3.函數(shù)y＝log2(x＞1)的最小值為(　　) A.－3　　　B.3　　　C.4　　　D.－4 【解析】　∵x＋＋5＝(x－1)＋＋6≥2＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，取“＝”， ∴l(xiāng)og2≥3，∴ymin＝3. 【答案】　B 4.若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________. 【解析】　∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9. 【答案】　[9，＋∞) 5.(1)當(dāng)x＜時(shí)，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)y＝的最大值. 【解】　(1)y＝(2x－3)＋＋ ＝－＋. 當(dāng)x＜時(shí)，有3－2x＞0， ∴＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝－時(shí)取等號(hào). 于是y≤－4＋＝－，故函數(shù)的最大值為－. (2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0， ∴y＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝的最大值為.