2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第三章 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 考點測試18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 文（含解析）.docx

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考點測試18　同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 高考概覽 考綱研讀 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα 2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出α，πα的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式 一、基礎(chǔ)小題 1．計算：sin600＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　sin600＝－sin60＝－.故選D. 2．若x是第四象限角，且sinx＝－，則cosx＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　x是第四象限角，cosx＞0，cosx＝＝＝.故選C. 3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，則下列不等關(guān)系中必定成立的是(　　) A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0 C．sinθ>0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0 答案　B 解析　∵sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0，∴cosθ<0.故選B. 4．點A(sin2013，cos2013)在直角坐標(biāo)平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　2013＝3605＋(180＋33)，因此2013角的終邊在第三象限，sin2013<0，cos2013<0，所以點A位于第三象限．故選C. 5．已知sinα＝，則sin4α－cos4α的值為(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.故選B. 6．已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(　　) A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1} C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2} 答案　C 解析　當(dāng)k為偶數(shù)時，A＝＋＝2；當(dāng)k為奇數(shù)時，A＝－－＝－2.故選C. 7.＝(　　) A．sin2－cos2 B．sin2＋cos2 C．(sin2－cos2) D．cos2－sin2 答案　A 解析　＝＝ ＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.故選A. 8．若sinθ＋cosθ＝，則tanθ＋＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝－，則tanθ＋＝＋＝＝－，故選D. 9．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩個根，則m的值為(　　) A．1＋ B．1－ C．1 D．－1－ 答案　B 解析　由題意得sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以＝1＋，解得m＝1，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1－ .故選B. 10．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，則θ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝，∵|θ|<，∴θ＝.故選D. 11．化簡：＝________. 答案　1 解析　原式＝＝＝1. 12．若sinθcosθ＝，θ∈，則cosθ－sinθ＝________. 答案　－ 解析　(cosθ－sinθ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－＝，∵θ∈，∴cosθ0，所以－<α＋<－，所以sin＋α＝ －＝－＝－.故選D. 20．(2018綿陽診斷)已知2sinα＝1＋cosα，則tanα的值為(　　) A．－ B. C．－或0 D.或0 答案　D 解析　由2sinα＝1＋cosα得sinα≥0，且4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，因而5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝或cosα＝－1，那么tanα＝或0，故選D. 21．(2018福建四地六校聯(lián)考)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sinα的值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，又α為銳角，故sinα＝.故選C. 22．(2018沈陽質(zhì)檢一)已知tanθ＝2，則＋sin2θ的值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　原式＝1＋＋＝1＋＋＝＋＝.故選C. 23．(2018湖北武漢調(diào)研)若tanα＝cosα，則＋cos4α＝________. 答案　2 解析　解法一：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α，∴＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α＝tan2α＋1＋sin2α＝cos2α＋1＋sin2α＝2. 解法二：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝或sinα＝(舍去)．∴cos2α＝，∴＋cos4α＝＋(cos2α)2＝＋2＝＋＝2. 一、高考大題 本考點在近三年高考中未獨立命題． 二、模擬大題 1．(2018河北唐山一中月考)已知＝－1，求下列各式的值： (1)； (2)1－3sinαcosα＋3cos2α. 解　由＝－1，得tanα＝3. (1)＝＝－. (2)1－3sinαcosα＋3cos2α＝ ＝ ＝ ＝＝. 2．(2018吉林長春月考)已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩個根為sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求： (1)＋的值； (2)m的值； (3)方程的兩根及θ的值． 解　(1) ＋＝＋ ＝＝sinθ＋cosθ＝. (2)將①式兩邊平方得1＋2sinθcosθ＝. ∴sinθcosθ＝. 由②式得＝，∴m＝. (3)由(2)可知原方程變?yōu)? 2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝. ∴或 又θ∈(0，2π)，∴θ＝或θ＝. 3．(2018河南洛陽一中調(diào)研)已知－<α<0，且函數(shù)f(α)＝cos－sinα－1. (1)化簡f(α)； (2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值． 解　(1)f(α)＝sinα－sinα－1 ＝sinα＋sinα－1＝sinα＋cosα. (2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝， 兩邊平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝， 即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－， ∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝， 又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0， ∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－. 解法二：聯(lián)立方程 解得或 ∵－<α<0，∴ ∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－. 4．(2018四川宜賓月考)是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由． 解　假設(shè)存在角α，β滿足條件， 則由已知條件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2. ∴sin2α＝，∴sinα＝. ∵α∈，∴α＝. 當(dāng)α＝時，由②式知cosβ＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此時①式成立； 當(dāng)α＝－時，由②式知cosβ＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此時①式不成立，故舍去． ∴存在α＝，β＝滿足條件．