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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
回扣4 三角函數(shù)與平面向量
1.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式
對于“±α,k∈Z”的三角函數(shù)值與α角的三角函數(shù)值的關(guān)系口訣:奇變偶不變,符號看象限.
2.三角函數(shù)恒等變換“四大策略”
(1)常值代換:特別是“1”的代換,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.
(2)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(3)弦、切互化:一般是切化弦.
(4)靈活運用輔助角公式asinα+bcosα=sin(α+φ).
3.三種三角函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
y=sin x
y=cosx
y=tan x
圖象
單調(diào)性
在
(k∈Z)
2、
上單調(diào)遞增;在
(k∈Z)
上單調(diào)遞減
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減
在(k∈Z)上單調(diào)遞增
對稱性
對稱中心:(kπ,0)(k∈Z);對稱軸:x=+kπ (k∈Z)
對稱中心:
(k∈Z);
對稱軸:
x=kπ(k∈Z)
對稱中心:
(k∈Z)
4.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0)的圖象
(1)“五點法”作圖
設(shè)z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出相應(yīng)的x的值與y的值,描點、連線可得.
(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時,一般利用五點中的零點或最值點作為解題突破口.
3、(3)圖象變換
y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
5.正弦定理及其變形
===2R(2R為△ABC外接圓的直徑).
變形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
sin A=,sin B=,sin C=.
a∶b∶c=sin A∶sinB∶sinC.
6.余弦定理及其推論、變形
a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
推論:cosA=,cosB=,
cosC=.
變形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2
4、=2accos B,
a2+b2-c2=2abcos C.
7.面積公式
S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC.
8.平面向量的數(shù)量積
(1)若a,b為非零向量,夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ.
(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.
9.兩個非零向量平行、垂直的充要條件
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
(1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
10.利用數(shù)量積求長度
(1)若a=(x,y),則|a|==.
(2)若A(
5、x1,y1),B(x2,y2),則
||=.
11.利用數(shù)量積求夾角
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,
則cosθ==.
12.三角形“四心”向量形式的充要條件
設(shè)O為△ABC所在平面上一點,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則
(1)O為△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O為△ABC的重心?++=0.
(3)O為△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O為△ABC的內(nèi)心?a+b+c=0.
1.利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時,不要忽視角的范圍,要先判斷函數(shù)值的符號.
2.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時,不要忽略x的取值范圍
6、.
3.求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,要注意A與ω的符號,當(dāng)ω<0時,需把ω的符號化為正值后求解.
4.三角函數(shù)圖象變換中,注意由y=sin ωx的圖象變換得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)時,平移量為,而不是φ.
5.在已知兩邊和其中一邊的對角時,要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”,避免增解.
6.要特別注意零向量帶來的問題:0的模是0,方向任意,并不是沒有方向;0與任意非零向量平行.
7.a(chǎn)·b>0是〈a,b〉為銳角的必要不充分條件;
a·b<0是〈a,b〉為鈍角的必要不充分條件.
1.若sin θ·cosθ=,則tan θ+的值是( )
A.-2
7、B.2
C.±2 D.
答案 B
解析 tan θ+=+==2.
2.下列函數(shù)中,最小正周期為π的偶函數(shù)是( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cosx
答案 A
解析 化簡函數(shù)的解析式,A中,y=cos 2x是最小正周期為π的偶函數(shù).
3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=2,c=,cosA=-.則b的值為( )
A.1 B.
C. D.
答案 A
解析 根據(jù)余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,則22=b2+()2-2b××,所以b2+b-2=0,解得b=1,故選
8、A.
4.要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象( )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
答案 B
解析 因為y=sin=sin,所以將函數(shù)y=sin 4x向右平移個單位長度就得到函數(shù)y=sin.故選B.
5.若函數(shù)f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的圖象關(guān)于點對稱,則函數(shù)f(x)在上的最小值是( )
A.-1 B.-
C.- D.-
答案 B
解析 f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,
則由題意知,f=2sin=0,又因為0
9、<θ<π,所以<π+θ+<,所以π+θ+=2π,所以θ=,所以f(x)=-2sin 2x.
又因為函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)在上的最小值為
f=-2sin =-,故選B.
6.(2016·全國Ⅲ)在△ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cosA等于( )
A.B. C.-D.-
答案 C
解析 設(shè)BC邊上的高AD交BC于點D,由題意B=,AD=BD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tan A==-3,所以cosA=-,故選C.
7.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,則α+β的值是( )
A. B.
C.或
10、 D.或
答案 A
解析 ∵sin 2α=,α∈,
∴2α∈,即α∈,cos 2α=-,
又sin(β-α)=,β∈,
∴β-α∈,cos(β-α)=-,
∴sin(α+β)=sin [(β-α)+2α]
=sin(β-α)cos 2α+cos( β-α)sin 2α
=×+×
=-,
cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α
=×-×
=,
又α+β∈,
∴α+β=,故選A.
8.在△ABC中,已知D是AB邊上一點,若=2,=+λ,則λ等于( )
A. B.
C.- D.-
答案 A
11、解析 如圖,
=+=+
=+(-)
=+,
所以λ=.故選A.
9.函數(shù)y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于y軸對稱,則滿足此條件的φ的值為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 平移后有f(x)=sin=sin,
f(x)關(guān)于y軸對稱,則φ-=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,由于0<φ<π,所以φ=.
10.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)-1,其圖象與直線y=1相鄰兩個交點的距離為,若f(x)>0對x∈恒成立,則φ的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由已知得函數(shù)f(x)的最小正周期為,
12、則ω=,
當(dāng)x∈時,x+φ∈,
因為f(x)>0,即cos>,
所以(k∈Z),
解得-+2kπ≤φ≤-+2kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以-<φ≤-,故選B.
11.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示,則
f的值為________.
答案 1
解析 根據(jù)圖象可知,A=2,=-,
所以周期T=π,由ω==2.又函數(shù)過點,
所以sin=1,又0<φ<π,
所以φ=,則f(x)=2sin,
因此f=2sin=1.
12.已知函數(shù)f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的圖象的對稱中心
13、完全相同,若x∈,則f(x)的取值范圍是________.
答案
解析 由兩個三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同可知,兩函數(shù)的周期相同,故ω=2,
所以f(x)=3sin,
那么當(dāng)x∈時,-≤2x-≤,
所以-≤sin≤1,故f(x)∈.
13.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,角B為銳角,且sin2B=8sin A·sinC,則的取值范圍為____________.
答案
解析 因為sin2B=8sin A·sinC,由正弦定理可知,
b2=8ac,所以cosB=
==
=-5∈(0,1),
令t=,t>0,則0<-5<1,
解得<t2<,即t∈.
14、
14.已知O是銳角△ABC外接圓的圓心,∠A=60°,·+·=2m,則m的值為______.
答案
解析 如圖所示,取AB的中點D,則=+,OD⊥AB,所以·=0,設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,由·+·=2m,得·+·=-2m(+),兩邊同乘以,得·2+··=-2m(+)·,即·c2+·bc·cosA=m·c2,所以·c+·b·cosA=m·c,
由正弦定理===2R,
所以b=2Rsin B,c=2Rsin C,
代入上式整理,得cosB+cosCcosA=m·sinC,
所以m=
==sin A,
又∠A=60°,所以m=sin 60°=.
15、
15.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-sin A)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a=2,b=,求△ABC的面積.
解 (1)由已知得
-cos(A+B)+cosAcosB-sin AcosB=0,
即sin AsinB-sin AcosB=0, 因為sin A≠0,
所以sin B-cosB=0,又cosB≠0,所以tan B=,
又0<B<π,所以B=.
(2)因為sin B=,cosB=,
所以===,又a=2,
所以sin A==,
因為a<b,所以cosA=.
所以sin C=sin(A+B)=s
16、in AcosB+cosAsinB=,
所以S=absinC=.
16.已知函數(shù)f(x)=sin xcosx+sin2x+(x∈R).
(1)當(dāng)x∈時,求函數(shù)f(x)的最小值和最大值;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=,f(C)=2,若向量m=(1,a)與向量n=(2,b)共線,求a,b的值.
解 (1)∵函數(shù)f(x)=sin xcosx+sin2x+(x∈R),
∴f(x)=sin 2x++
=sin 2x-cos 2x+1
=sin+1.
∵-≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤sin≤1,
∴1-≤sin+1≤2,
∴f(x)的最小值是1-,最大值是2.
(2)∵f(C)=sin+1=2,
∴sin=1,
∵0<C<π,∴-<2C-<,
∴2C-=,解得C=.
∵向量m=(1,a)與向量n=(2,b)共線,
∴b-2a=0,即b=2a.①
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos ,
即a2+b2-ab=3.②
由①②得a=1,b=2.