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1、新編高考數(shù)學復習資料
第三章 章末檢測
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.(2010·泰安高三二模)如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(5,f(5))處的切線方程是y=-x+8,則f(5)+f′(5)等于 ( )
A. B.1
C.2 D.0
2.函數(shù)f(x)=ax3-x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則 ( )
A.a(chǎn)<1
2、 B.a(chǎn)<
C.a(chǎn)<0 D.a(chǎn)≤0
3.(2011·洛陽模擬)已知f(x)=,且f(x-1)的圖象的對稱中心是(0,3),則f′(2)的值為 ( )
A.- B.
C.- D.
4.若函數(shù)f(x)=exsin x,則此函數(shù)圖象在點(4,f(4))處的切線的傾斜角為 ( )
A. B.0 C.鈍角 D.銳角
5.(2010·山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元
3、)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關系式為y=-x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 ( )
A.13萬件 B.11萬件
C.9萬件 D.7萬件
6.已知f(x)=2x3-6x2+a (a是常數(shù))在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上f(x)的最小值是 ( )
A.-5 B.-11
C.-29 D.-37
7.(2010·江西) 如圖,一個正五角形薄
4、片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面,記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t) (S(0)=0),則導函數(shù)y=S′(t)的圖象大致( )
8.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,則x2y的最大值為 ( )
A.36 B.18
C.25 D.42
9.(2011·合肥模擬)已知R上可導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則不等式(x2-2x-3)f′(x)>0的解集為 (
5、 )
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)
10.如圖所示的曲線是函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d的大致圖象,則x+x等于 ( )
A. B.
C. D.
11.(2010·寶雞高三檢測三)已知f′(x)是f(x)的導函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上f′(x)>0,且偶函數(shù)f(x)滿足f(2x-1)
6、 B.
C. D.
12.(2011·唐山月考)已知函數(shù)y=f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點的一點,且y極小值=-4,那么p,q的值分別為 ( )
A.6,9 B.9,6
C.4,2 D.8,6
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.函數(shù)f(x)=xln x在(0,5
7、)上的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.
14.(2011·安慶模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當x∈時,f(x)=x+sin x,則f(1),f(2),f(3)的大小關系為________________________.
15.(2009·福建改編)=________.
16.下列關于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是________(填寫所有正確的序號).
①f(x)>0的解集是{x|0
8、x3-x2-2x+5.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;(2)當x∈[-1,2]時,f(x)
9、(m∈R)的解的個數(shù).
20.(12分)(2010·全國)已知函數(shù)f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.
(1)當a=時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),求a的取值范圍.
21.(12分)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距m米,余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩,經(jīng)預測,一個橋墩的工程費用為256萬元,距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+)x萬元.假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素,記余下工程的費用為y萬元.
(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式;
(2)當m=640米時,
10、需新建多少個橋墩才能使y最???
22.(12分)(2011·黃山模擬)設函數(shù)f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1為f(x)的極值點.
(1)求a和b的值;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)設g(x)=x3-x2,試比較f(x)與g(x)的大?。?
答案 1.C [由題意知f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3,
所以f(5)+f′(5)=3-1=2.]
2.D [由題意知,f′(x)=3ax2-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,
a=0時,f′(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立;
a>0時,≥3x2在(-∞,+∞)上恒成立
11、,這樣的a不存在;
a<0時,≤3x2在(-∞,+∞)上恒成立,而3x2≥0,
∴a<0.綜上,a≤0.]
3.B [f(x)=a+1-,中心為(-1,a+1),由f(x-1)的中心為(0,3)知f(x)的中心為(-1,3),∴a=2.
∴f(x)=3-.
∴f′(x)=.∴f′(2)=.]
4.C [f′(x)=exsin x+excos x
=ex(sin x+cos x)=exsin,
f′(4)=e4sin<0,
則此函數(shù)圖象在點(4,f(4))處的切線的傾斜角為鈍角.]
5.C [∵y′=-x2+81,令y′=0得x=9(x=-9舍去).
當0
12、0,f(x)為增函數(shù),
當x>9時,y′<0,f(x)為減函數(shù).
∴當x=9時,y有最大值.]
6.D [f′(x)=6x2-12x,若f′(x)>0,
則x<0或x>2,又f(x)在x=0處連續(xù),
∴f(x)的增區(qū)間為[-2,0).
同理f′(x)<0,得減區(qū)間(0,2].
∴f(0)=a最大.
∴a=3,即f(x)=2x3-6x2+3.
比較f(-2),f(2)得f(-2)=-37為最小值.]
7.A [利用排除法.
∵露出水面的圖形面積S(t)逐漸增大,
∴S′(t)≥0,排除B.
記露出最上端小三角形的時刻為t0.
則S(t)在t=t0處不可導.排除C、D,
13、故選A.]
8.A [由x+3y=9,得y=3-≥0,∴0≤x≤9.
將y=3-代入u=x2y,
得u=x2=-+3x2.
u′=-x2+6x=-x(x-6).
令u′=0,得x=6或x=0.
當00;60,在(-1,1)上f′(x)<0.
由(x2-2x-3)f′(x)>0,
得或
即或,
所以不等式的解集為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞).]
10.C [由圖象知f(x)=x(x+1)(x-2)
14、=x3-x2-2x=x3+bx2+cx+d,
∴b=-1,c=-2,d=0.
而x1,x2是函數(shù)f(x)的極值點,故x1,x2是f′(x)=0,
即3x2+2bx+c=0的根,
∴x1+x2=-,x1x2=,
x+x=(x1+x2)2-2x1x2
=b2-=.]
11.A [∵x∈[0,+∞),f′(x)>0,
∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
又因f(x)是偶函數(shù),∴f(2x-1)
15、0有兩個不相等實根a,0 (a≠0),
∴x2+px+q=(x-a)2.
∴f(x)=x(x-a)2,f′(x)=(x-a)(3x-a).
令f′(x)=0,得x=a或x=.
當x=a時,f(x)=0≠-4,
∴f=y(tǒng)極小值=-4,
即a3=-4,a=-3,∴x2+px+q=(x+3)2.
∴p=6,q=9.]
13.
解析 ∵f′(x)=ln x+1,f′(x)>0,
∴l(xiāng)n x+1>0,ln x>-1,
∴x>.∴遞增區(qū)間為.
14.f(3)
16、cos x>0恒成立,
所以f(x)在上為增函數(shù),
f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),
且0<π-3<1<π-2<,
所以f(π-3)0?(2x-x2)ex>0
?2x-x2>0?0或x<-,
由f′(x)>0,得-
17、
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-),(,+∞),單調(diào)增區(qū)間為(-,).
∴f(x)的極大值為f(),極小值為f(-),故②正確.
∵x<-時,f(x)<0恒成立,
∴f(x)無最小值,但有最大值f().
∴③不正確.
17.解 (1)f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,
即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,………………………………………………(2分)
所以當x∈時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
當x∈時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);
當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).…………………………………………(4分)
所以f(x
18、)的遞增區(qū)間為和(1,+∞),
f(x)的遞減區(qū)間為.……………………………………………………………(6分)
(2)當x∈[-1,2]時,f(x)7.………………………………………………………………………………(10分)
18.解 (1)設切線的斜率為k,
則k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,
當x=1時,kmin=1.……………………
19、…………………………………………………(3分)
又f(1)=,∴所求切線的方程為y-=x-1,
即3x-3y+2=0.………………………………………………………………………(6分)
(2)f′(x)=2x2-4ax+3,要使y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),必須滿足f′(x)≥0,即對任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)≥0,f′(x)=2x2-4ax+3≥0,∴a≤=+,而+≥,當且僅當x=時,等號成立.……………………………………………………………(10分)
∴a≤,又∵a∈Z,
∴滿足條件的最大整數(shù)a為1.…………………………………………………………(12分)
19.解 (1)f
20、(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=ln x+1,……………………………(2分)
令f′(x)=0,得x=,
當x∈(0,+∞)時,f′(x),f(x)的變化的情況如下:
x
f′(x)
-
0
+
f(x)
極小值
…………………………………………………………………………………………(5分)
所以,f(x)在(0,+∞)上的極小值是f=-.……………………………………(6分)
(2)當x∈,f(x)單調(diào)遞減且f(x)的取值范圍是;
當x∈時,f(x)單調(diào)遞增且f(x)的取值范圍是.………………(8分)
令y=f(x),y=m,兩函數(shù)圖
21、象交點的橫坐標是f(x)-m=0的解,由(1)知當m<-時,原方程無解;
由f(x)的單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值的范圍知,
當m=-或m≥0時,原方程有唯一解;
當-
22、……(6分)
(2)在(-1,1)上,f(x)單調(diào)遞增當且僅當f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0恒成立,
即3ax2+3ax-1≤0恒成立,①…………………………………………………………(7分)
(ⅰ)當a=0時,①恒成立;
(ⅱ)當a>0時,①成立,
即成立,解得0
23、0,
f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù),………………………………………………………(10分)
所以f(x)在x=64處取得最小值,
此時,n=-1=-1=9.
24、
故需新建9個橋墩才能使y最?。?12分)
22.解 (1)因為f′(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx
=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),
又x=-2和x=1為f(x)的極值點,
所以f′(-2)=f′(1)=0,
因此…………………………………………………………………(3分)
解方程組得………………………………………………………………(4分)
(2)因為a=-,b=-1,
所以f′(x)=x(x+2)(ex-1-1),
令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1.……………………………………………(6
25、分)
因為當x∈(-∞,-2)∪(0,1)時,f′(x)<0;
當x∈(-2,0)∪(1,+∞)時,f′(x)>0.
所以f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是單調(diào)遞增的;
在(-∞,-2)和(0,1)上是單調(diào)遞減的.………………………………………………(8分)
(3)由(1)可知f(x)=x2ex-1-x3-x2,
故f(x)-g(x)=x2ex-1-x3
=x2(ex-1-x),
令h(x)=ex-1-x,則h′(x)=ex-1-1.…………………………………………………(9分)
令h′(x)=0,得x=1,
因為x∈(-∞,1]時,h′(x)≤0,
所以h(x)在x∈(-∞,1]上單調(diào)遞減.
故x∈(-∞,1]時,h(x)≥h(1)=0.
因為x∈[1,+∞)時,h′(x)≥0,
所以h(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增.
故x∈[1,+∞)時,h(x)≥h(1)=0.……………………………………………………(11分)
所以對任意x∈(-∞,+∞),恒有h(x)≥0,
又x2≥0,因此f(x)-g(x)≥0,
故對任意x∈(-∞,+∞),
恒有f(x)≥g(x).…………………………………………………………………………(12分)