2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算 3.1.2 共面向量定理學(xué)案 蘇教版選修2-1.doc
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3.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算 3.1.2 共面向量定理 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別,掌握空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì),理解共線向量定理.(重點(diǎn))2.了解向量共面的含義,理解共面向量定理.3.能運(yùn)用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點(diǎn)共面的簡(jiǎn)單問題. [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 教材整理1 空間向量及其線性運(yùn)算 閱讀教材P81的部分,完成下列問題. 1.空間向量 在空間,把既有大小又有方向的量叫做空間向量. 2.空間向量的線性運(yùn)算 空間向量的線性運(yùn)算 定義(或法則) 加法 設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量,過一點(diǎn)O作a和b的相等向量和,根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則.平行四邊形OACB的對(duì)角線OC對(duì)應(yīng)的向量就是a與b的和,記作a+b 減法 與平面向量類似,a與b的差定義為a+(-b),記作a-b,其中-b是b的相反向量 空間向量的數(shù)乘 空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)λ的乘積是一個(gè)向量,記作λa,滿足: 大?。簗λa|=|λ||a|. 方向:當(dāng)λ>0時(shí),λa與a方向相同; 當(dāng)λ<0時(shí),λa與a方向相反; 當(dāng)λ=0時(shí),λa=0 1.判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)同平面向量一樣,任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小.( ) (2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算中,λ只決定向量的大小,不決定向量的方向.( ) (3)將空間的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓.( ) (4)若|a|=|b|,則a=b或a=-b.( ) (5)已知四邊形ABCD,O是空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是平行四邊形.( ) [答案] (1)√ (2) (3) (4) (5)√ 2.如圖311,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是________(填序號(hào)). 圖311 ①--; ②+-; ③--; ④-+. [解析] ①--=-=; ②+-=+=; ③--=-=-=≠; ④-+=++=++=+≠. [答案] ①② 教材整理2 共線向量 閱讀教材P82例1上面的部分,完成下列問題. 1.共線向量 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量. 向量a與b平行,記作a∥b,規(guī)定零向量與任意向量共線. 2.共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(a≠0),b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa. 教材整理3 共面向量 閱讀教材P84的部分,完成下列問題. 1.共面向量 能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量. 2.共面向量定理 如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使得p=xa+yb. 有下列命題: ①平行于同一直線的向量是共線向量; ②平行于同一平面的向量是共面向量; ③平行向量一定是共面向量; ④共面向量一定是平行向量. 其中正確的命題有________. [解析] “共面向量一定是平行向量”不正確,即共面向量不一定共線.①②③均正確. [答案]?、佗冖? [合 作 探 究攻 重 難] 空間向量及有關(guān)概念 下列四個(gè)命題: ①所有的單位向量都相等; ②方向相反的兩個(gè)向量是相反向量; ③若a,b滿足|a|>|b|,且a,b同向,則a>b; ④零向量沒有方向. 其中不正確的命題的序號(hào)為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392156】 [精彩點(diǎn)撥] 根據(jù)空間向量的概念進(jìn)行逐一判斷,得出結(jié)論. [自主解答] 對(duì)于①:?jiǎn)挝幌蛄渴侵搁L(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,而其方向不一定相同,它不符合相等向量的定義,故①錯(cuò);對(duì)于②:長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量,故②錯(cuò);對(duì)于③:向量是不能比較大小的,故不正確;對(duì)于④:零向量有方向,只是沒有確定的方向,故④錯(cuò). [答案]?、佗冖邰? [名師指津] 1.因?yàn)榭臻g任何兩個(gè)向量都可以平移到同一平面上,故空間的兩個(gè)向量間的關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來解決. 2.對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念的特征入手,也可以通過舉出反例而排除或否定相關(guān)命題. [再練一題] 1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是________. ①如果a,b是兩個(gè)單位向量,則|a|=|b|; ②兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同; ③同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量; ④空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi). [解析]?、佗邰苷_,②不正確. [答案] 3 空間向量的線性運(yùn)算 化簡(jiǎn):(-)-(-). [精彩點(diǎn)撥] 根據(jù)算式中的字母規(guī)律,可轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,也可轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算. [自主解答] 法一:將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行化簡(jiǎn). ∵-=+, ∴(-)-(-)=+-+ =+++=+++ =+=0. 法二:利用-=,-=化簡(jiǎn). (-)-(-)=--+ =(-)+(-) =+=0. 法三:∵=-,=-, =-,=-, ∴(-)-(-) =(--+)-(--+) =--+-++-=0. [名師指津] 1.計(jì)算兩個(gè)空間向量的和或差時(shí),與平面向量完全相同.運(yùn)算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵. 2.計(jì)算三個(gè)或多個(gè)空間向量的和或差時(shí),要注意以下幾點(diǎn): (1)三角形法則和平行四邊形法則; (2)正確使用運(yùn)算律; (3)有限個(gè)向量順次首尾相連,則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量,即表示這有限個(gè)向量的和向量. [再練一題] 2.如圖312所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,若=a,=b,=c,則=________(用向量a,b,c表示). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392157】 圖312 [解析] 法一:=-=+-=-+--=a-b+c-b+b=a-b+c. 法二:=+=+=+-=a+c-b. [答案] a-b+c 共線向量定理及其應(yīng)用 如圖313,已知M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3.求證:B,G,N三點(diǎn)共線. 圖313 [精彩點(diǎn)撥] 要證明B,G,N三點(diǎn)共線,可證明∥,即證明存在實(shí)數(shù)λ,使=λ. [自主解答] 設(shè)=a,=b,=c, 則=+=+=-a+(a+b+c) =-a+b+c,=+=+(+)=-a+b+c=. ∴∥,即B,G,N三點(diǎn)共線. [名師指津] 判定或證明三點(diǎn)(如P,A,B)是否共線: (1)考察是否存在實(shí)數(shù)λ,使=λ; (2)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O,是否有=+t; (3)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O,是否有=x+y (x+y=1). [再練一題] 3.在例3中,若把條件“GM∶GA=1∶3”換為“GM∶GA=1∶1”.把“N是面ACD的重心”換為“=λ”,增加條件“B,G,N三點(diǎn)共線”,其余不變,試求λ的值. [解] 設(shè)=a,=b,=c,∴=+=+(+)=+(-+-)=(a+b+c). ∴=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c. =+=+λ=+λ(+)=-a+λb+λc. ∵B,G,N三點(diǎn)共線,故存在實(shí)數(shù)k,使=k, 即-a+b+c=k, 故 解得k=,λ=. 共面向量定理及其應(yīng)用 如圖314所示,已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn). 圖314 (1)用向量法證明E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面; (2)用向量法證明BD∥平面EFGH. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392158】 [精彩點(diǎn)撥] (1)要證E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面,根據(jù)共面向量定理的推論,只要能找到實(shí)數(shù)x,y,使=x+y即可. (2)要證BD∥平面EFGH,只需證向量與向量,共面即可. [自主解答] (1)如圖所示,連接BG,EG,則 =+=+(+) =++=+. 由共面向量定理知E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面. (2)設(shè)=a,=b,=c, 則=-=c-a. =+=-+(c+b)=-a+b+c, =+=-c+(a+b)=a+b-c. 假設(shè)存在x,y,使=x+y. 即c-a =x+y =a+b+c. ∵a,b,c不共線. ∴解得 ∴=-. ∴,,是共面向量, ∵BD不在平面EFGH內(nèi). ∴BD∥平面EFGH. [名師指津] 1.空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使=x+y.滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平面MAB內(nèi);反之,平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式,這個(gè)充要條件常用來證明四點(diǎn)共面.在許多情況下,可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,則P,A,B,C四點(diǎn)共面”作為判定空間中四個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù). 2.用共面向量定理證明線面平行的關(guān)鍵 (1)在直線上取一向量; (2)在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量,并用這兩個(gè)不共線的向量表示直線上的向量; (3)說明直線不在面內(nèi),三個(gè)條件缺一不可. [再練一題] 4.已知兩個(gè)非零向量e1,e1不共線,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求證:A,B,C,D四點(diǎn)共面. [證明] ∵+=(3e1-3e2)+(2e1+8e2)=5(e1+e2)=5, ∴=+,又與不共線, ∴,,共面,又它們有一個(gè)公共起點(diǎn)A, ∴A,B,C,D四點(diǎn)共面. 共線、共面向量的特征 [探究問題] 1.如何理解共線向量及共線向量定理? [提示] (1)用共線向量定理證明兩直線平行是常用方法,但是要注意,向量平行與直線平行是有區(qū)別的,直線平行不包括共線的情形,如果應(yīng)用共線向量定理判斷a,b所在的直線平行,還需說明a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上. (2)用共線向量定理證明三點(diǎn)共線也是常用方法,在利用該定理證明(或判斷)三點(diǎn)A,B,C共線時(shí),只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使=λ或=λ即可. (3)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O,若有=λ+(1-λ)成立,則A,B,C三點(diǎn)共線. 2.如何理解共面向量定理? [提示] (1)共面向量定理給出了平面向量的表示式,說明兩個(gè)不共線的向量能確定一個(gè)平面,它是判定三個(gè)向量是否共面的依據(jù). (2)共面向量定理的推論是判定空間四點(diǎn)共面的依據(jù). 3.若兩向量共線或共面,則這兩向量所在的直線有何位置關(guān)系? [提示] 兩向量共線,這兩向量所在的直線重合或平行,兩向量共面,這兩向量所在的直線共面或異面. 如圖315所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.證明:與,共面. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392159】 圖315 [精彩點(diǎn)撥] 由共面向量定理,只要用,線性表示出即可. [自主解答] ∵=++ =+++ =+ =+++ =+, ∴與,共面. [再練一題] 5.如圖316,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量,,是共面向量. 圖316 [證明] 法一:=++ =-+ =(+)- =-. 由向量共面的充要條件知,,,是共面向量. 法二:連接A1D,BD,取A1D中點(diǎn)G,連接FG,BG,則有FGDD1, BEDD1, ∴FGBE, ∴四邊形BEFG為平行四邊形, ∴EF∥BG. BG?平面A1BD,EF?平面A1BD, ∴EF∥共面A1BD. 同理,B1C∥A1D,∴B1C∥平面A1BD, ∴,,都與平面A1BD平行. ∴,,是共面向量. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,則+++=________. [解析]?。剑剑?. [答案] 0 2.已知正方體ABCDA′B′C′D′中,設(shè)=a,=b,=c,點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn),點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn),且AF=EF,則=________(用a,b,c表示). [解析] 由條件AF=EF知,EF=2AF,所以== ==+=++=a+b+c. [答案] a+b+c 3.a(chǎn)=λb(λ是實(shí)數(shù))是a與b共線的______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”). [解析] a=λb?a∥b,但當(dāng)b=0,a≠0時(shí), 則a∥b,a≠λb. [答案] 充分不必要 4.設(shè)e1,e2是空間中兩個(gè)不共線的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三點(diǎn)共線,則k的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):71392160】 [解析] ∵=e1+3e2,=2e1-e2, ∴=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2. ∵A,B,D三點(diǎn)共線, ∴=λ, ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2. ∵e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量, ∴ ∴k=-8. [答案] -8 5.已知?ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O,引向量=k,=k,=k,=k. 圖317 求證:(1)E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面; (2)平面AC∥平面EG. [證明] (1)四邊形ABCD是平行四邊形,∴=+. ∵=-=k-k=k(-) =k=k(+) =k(-+-) =-+- =+,∴E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面. (2)∵=-=k(-)=k,又∵=k,∴EF∥AB,EG∥AC,所以平面AC∥平面EG.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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