2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第1課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第二章　2.5　第1課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝3，a2a4＝144，則S10的值是(　D　) A．511　　　　　　　　 B．1 023 C．1 533 D．3 069 [解析]　由題意知a2a4＝144，即a1qa1q3＝144， 所以aq4＝144， ∴q4＝16，∴q＝2，∴S10＝＝3(210－1)＝3 069. 2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5等于(　C　) A．33 B．72 C．84 D．189 [解析]　設(shè)等比數(shù)列公比為q. ∵a1＋a2＋a3＝21且a1＝3， ∴a1(1＋q＋q2)＝21， ∴1＋q＋q2＝7，∴q2＋q－6＝0， ∴q＝2或q＝－3(舍)， 又∵a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)， ∴(a3＋a4＋a5)＝347＝84. 3．等比數(shù)列{an}中，已知前4項(xiàng)之和為1，前8項(xiàng)和為17，則此等比數(shù)列的公比q為(　C　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－1 [解析]　S4＝1，S8＝S4＋q4S4＝1＋q4＝17∴q＝2. 4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，則Sn等于(　C　) A．a(chǎn)n＋1－a B．n(a＋1) C．na D．(a＋1)n－1 [解析]　利用常數(shù)列a，a，a，…判斷，則存在等差數(shù)列a＋1，a＋1，a＋1，…或通過下列運(yùn)算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na. 5．已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21，前30項(xiàng)和是49，則前10項(xiàng)和是(　D　) A．7 B．9 C．63 D．7或63 [解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列， ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即(21－S10)2＝S10(49－21)， ∴S10＝7或63. 6．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　C　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．(1－4－n) D．(1－2－n) [解析]　∵＝q3＝，∴q＝. ∴anan＋1＝4()n－14()n ＝25－2n， 故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1 ＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝ ＝(1－4－n)． 二、填空題 7．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為8，Sn是其前n項(xiàng)和，某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S2＝24，S3＝38，S4＝65，后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則算錯(cuò)的那個(gè)數(shù)是__S2__，該數(shù)列的公比是____. [解析]　設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若S2計(jì)算正確，則有q＝2，但此時(shí)S3≠38，S4≠65，與題設(shè)不符，故算錯(cuò)的就是S2，此時(shí)，由S3＝38可得q＝，且S4＝65也正確． 8．某廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為__11a(1.15－1)__. [解析]　依題意知，每年的產(chǎn)值構(gòu)成一等比數(shù)列，其公比為1＋10%＝1.1. 其首項(xiàng)為1.1a，故從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為： S5＝＝11a(1.15－1)． 三、解答題 9．在等比數(shù)列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5； (3)若q＝2，S4＝1，求S8. [解析]　(1)解法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知條件得 ， ∴a12n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1(－1)， ∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32，∴n＝6. 解法二：由公式Sn＝及條件得 189＝，解得a1＝3，又由an＝a1qn－1， 得96＝32n－1，解得n＝6. (2)設(shè)公比為q，由通項(xiàng)公式及已知條件得 ， 即 ∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴②①得q3＝. 即q＝，∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8()3＝1， S5＝＝＝. (3)設(shè)首項(xiàng)為a1， ∵q＝2，S4＝1，∴＝1， 即a1＝. ∴S8＝＝＝17. 10．(2017全國卷Ⅱ文，17)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3. [解析]　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.② 聯(lián)立①和②解得(舍去)，. 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時(shí)，由①得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時(shí)，由①得d＝－1，則S3＝－6. B級(jí)　素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．(2018－2019學(xué)年度山東榮成六中高二月考)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，＝，則等于(　B　) A． B． C． D． [解析]　設(shè)公比為q，∵＝，∴q≠1. ∴＝＝＝， ∴q3＝2. ∴＝＝ ＝＝＝. 2．設(shè){an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，則S101的值為(　A　) A．2 B．200 C．－2 D．0 [解析]　設(shè)公比為q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2， ∴S101＝＝＝2. 3．(2015福建理，8)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　D　) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析]　由韋達(dá)定理得a＋b＝p，ab＝q，因?yàn)閜>0，q>0，則a＞0，b＞0，當(dāng)a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，－2必為等比中項(xiàng)，故ab＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，－2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí)，2a＝－2，解得a＝1，b＝4，；當(dāng)b是等差中項(xiàng)時(shí)，＝a－2，解得a＝4，b＝1，綜上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，選D． 4．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝(　B　) A． B． C． D． [解析]　{an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，∴a3＝＝1，又S3＝7，∴，消去a1得，＝7，解之得q＝，∴a1＝4，∴S5＝＝. 二、填空題 5．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝__3__. [解析]　若q＝1時(shí)，S3＝3a1，S6＝6a1，顯然S6≠4S3， 故q≠1， ∴＝4，∴1＋q3＝4，∴q3＝3. ∴a4＝a1q3＝3. 6．將正偶數(shù)集合{2,4,6,8，…，2n，…}中的數(shù)從小到大按第n組有2n個(gè)數(shù)進(jìn)行分組如下： 　　　 則2 018位于第__9__組． [解析]　前n組共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2個(gè)數(shù)．由an＝2n＝2 018得n＝1 009， ∴2 018為第1 009個(gè)偶數(shù)． ∵29＝512,210＝1 024， ∴前8組共有510個(gè)數(shù)，前9組共有1 022個(gè)數(shù)，因此2 018位于第9組． 三、解答題 7．(2016全國卷Ⅰ文，17)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求{bn}的前n項(xiàng)和． [解析]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝， 得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列． 通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則 Sn＝＝－. C級(jí)　能力拔高 1．(2017全國卷Ⅲ文，17)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和． [解析]　(1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故當(dāng)n≥2時(shí)， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)記{}的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知＝＝－， 則Sn＝－＋－＋…＋－ ＝. 2．(2016全國卷Ⅲ理，17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan.其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)若S5＝，求λ. [解析]　(1)由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0， 所以＝. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝()n－1. (2)由(1)得Sn＝1－()n. 由S5＝得1－()5＝，即()5＝. 解得λ＝－1.